Exercice Suite/Fonction

[Jean]

Bonsoir,

Tout d'abord vous trouverez toutes les informations nécessaires en pièce-jointe.

A vrai dire, je doute de ma réponse ainsi que de mon raisonnement sur la question 1)b).

Pour la question 2, faut-il faire une récurrence ou bien autre chose ?

Merci d'avance de votre aide.
A bientôt !

[SoS-Math(33)]

Bonjour Jean,
ce que tu as fait pour l'instant est tout à fait correct.
Pour la question 2 effectivement par une récurrence tu vas pouvoir répondre à la question.
Je te laisse poursuivre.

[Jean]

Bonjour,

J'ai commencé ma récurrence mais je ne sais pas comment la continuer ...
Voici le début.

[SoS-Math(33)]

Attention n=0 donne \(U_0\)= 1/2 et n=1 donne \(U_1\) = 2,25
Ta récurrence est vérifiée au rang n=0 si tu prends \(U_0\) et au rang n=1 si tu prends \(U_1\)
Ensuite il faut vérifier si elle est vérifiée au rang n+1 pour cela tu dois utiliser aussi les variations de ta fonction, tu sais qu'à partir de \(\sqrt{2}\) ta fonction est croissante.
Quel est le premier entier plus grand que \(\sqrt{2}\) ?
Je te laisse poursuivre

[Jean]

Suite à vos remarques j'ai continué mais je suis de nouveau bloqué.

[SoS-Math(33)]

Tu as montré que \(U_1 > \sqrt{2}\)
Tu sais que \(2 > \sqrt{2}\) et que pour \(x > \sqrt{2}\) la fonction est croissante.
Il faut calculer \(U_2\) et vérifier que \(U_2 > \sqrt{2}\) , établir l'hypothèse de récurrence pour n > 2 et exprimer \(U{n+1}\) avec la fonction \(f\) qui est croissante sur \([\sqrt{2} ; +\infty[\)

[Jean]

Je ne suis pas sûr de comprendre :

Il faut bien que je montre que Un+2 > racine de 2

Mais comment faire ? Ma récurrence est elle correcte.

PS : J'ai changé P est vraie au rang 0 en P est vraie au rang 1

[SoS-Math(33)]

Tu sais que \(U_{n+1} = f(U_n)\) et que la fonction f est croissante sur \([\sqrt{2} ; +\infty[\) ce qui veut dire que sur cet intervalle \(U_{n+1} > U_n\)
Tu as montré que \(U_1 > \sqrt{2}\) et en calculant \(U_2\) tu montres aussi que \(U_2 > \sqrt{2}\) et tu sais aussi que \(2 > \sqrt{2}\) donc à partir du rang 2 tu es sur l'intervalle où la fonction est croissante.
Tu établis ton hypothèse de récurrence pour p \(\geq\) 2 et ensuite la fonction étant croissante tu justifies que au rang p+1 l'hypothèse est vérifiée.
Tu vois mieux comment faire?

[Jean]

Je pense avoir fini ma récurrence mais est elle correcte et assez justifiée ?

Merci de votre aide.

[SoS-Math(33)]

Tu ne prends pas en compte toutes les explications.
Initialisation : \(U_0 > \sqrt{2}\) ; \(U_1 > \sqrt{2}\) ; \(U_2 > \sqrt{2}\)
\(2 > \sqrt{2}\)
Hypothèse : Il existe \(p \in [\sqrt{2} ; +\infty[\) tel que \(U_p > \sqrt{2}\)
\(U_{p+1}=f(U_p)\) hors \(f\) est croissant sur \([\sqrt{2} ; +\infty[\) donc \(U_{p+1} > U_p\)
et donc \(U_{p+1} > \sqrt{2}\)
Je te laisse terminer la rédaction

[Jean]

Pourquoi Uo est plus grand que racine de 2

Uo = 0,5 et racine de 2 = 1,41 !?

[SoS-Math(33)]

Oui excuse moi c'est une erreur quand j'ai recopié,
\(U_0\) n'est pas à prendre en compte puisque on demande pour n entier non nul; et effectivement il ne vérifie pas la condition en plus.
Désolé.

[Jean]

J'ai modifié ma récurrence mais je ne comprends pas certaines remarques de votre part.

Si je montre que U1 > que racine de 2 et que dans mon hérédité je trouve Up+1 < Up+2 cela montre que la fonction est supérieur à racine de 2

[SoS-Math(33)]

Pour pouvoir utiliser l’hypothèse sur \([\sqrt{2} ; +\infty[\) il te faut au moins une valeur de \(n\) de cet intervalle pour laquelle \(U_n\) vérifie cette hypothèse. Hors \(1< \sqrt{2}\). C'est pour ça qu'il faut aller jusqu'à \(n=2\) dans l'initialisation et ensuite te placer sur \([\sqrt{2} ; +\infty[\) car c'est uniquement sur cet intervalle que tu peux utiliser la croissance de la fonction.

[Jean]

J'ai donc mis dans ma récurrence U2 > racine de 2

Est-ce correcte cette fois-ci ?