Exercice Suite/Fonction

[Jean]

Bonsoir,

Tout d'abord vous trouverez toutes les informations nécessaires en pièce-jointe.

A vrai dire, je doute de ma réponse ainsi que de mon raisonnement sur la question 1)b).

Pour la question 2, faut-il faire une récurrence ou bien autre chose ?

Merci d'avance de votre aide.
A bientôt !

[SoS-Math(33)]

Bonjour Jean,
ce que tu as fait pour l'instant est tout à fait correct.
Pour la question 2 effectivement par une récurrence tu vas pouvoir répondre à la question.
Je te laisse poursuivre.

[Jean]

Bonjour,

J'ai commencé ma récurrence mais je ne sais pas comment la continuer ...
Voici le début.

[SoS-Math(33)]

Attention n=0 donne $U_0$= 1/2 et n=1 donne $U_1$ = 2,25
Ta récurrence est vérifiée au rang n=0 si tu prends $U_0$ et au rang n=1 si tu prends $U_1$
Ensuite il faut vérifier si elle est vérifiée au rang n+1 pour cela tu dois utiliser aussi les variations de ta fonction, tu sais qu'à partir de $\sqrt{2}$ ta fonction est croissante.
Quel est le premier entier plus grand que $\sqrt{2}$ ?
Je te laisse poursuivre

[Jean]

Suite à vos remarques j'ai continué mais je suis de nouveau bloqué.

[SoS-Math(33)]

Tu as montré que $U_1 > \sqrt{2}$
Tu sais que $2 > \sqrt{2}$ et que pour $x > \sqrt{2}$ la fonction est croissante.
Il faut calculer $U_2$ et vérifier que $U_2 > \sqrt{2}$ , établir l'hypothèse de récurrence pour n > 2 et exprimer $U{n+1}$ avec la fonction $f$ qui est croissante sur $[\sqrt{2} ; +\infty[$

[Jean]

Je ne suis pas sûr de comprendre :

Il faut bien que je montre que Un+2 > racine de 2

Mais comment faire ? Ma récurrence est elle correcte.

PS : J'ai changé P est vraie au rang 0 en P est vraie au rang 1

[SoS-Math(33)]

Tu sais que $U_{n+1} = f(U_n)$ et que la fonction f est croissante sur $[\sqrt{2} ; +\infty[$ ce qui veut dire que sur cet intervalle $U_{n+1} > U_n$
Tu as montré que $U_1 > \sqrt{2}$ et en calculant $U_2$ tu montres aussi que $U_2 > \sqrt{2}$ et tu sais aussi que $2 > \sqrt{2}$ donc à partir du rang 2 tu es sur l'intervalle où la fonction est croissante.
Tu établis ton hypothèse de récurrence pour p $\geq$ 2 et ensuite la fonction étant croissante tu justifies que au rang p+1 l'hypothèse est vérifiée.
Tu vois mieux comment faire?

[Jean]

Je pense avoir fini ma récurrence mais est elle correcte et assez justifiée ?

Merci de votre aide.

[SoS-Math(33)]

Tu ne prends pas en compte toutes les explications.
Initialisation : $U_0 > \sqrt{2}$ ; $U_1 > \sqrt{2}$ ; $U_2 > \sqrt{2}$
$2 > \sqrt{2}$
Hypothèse : Il existe $p \in [\sqrt{2} ; +\infty[$ tel que $U_p > \sqrt{2}$
$U_{p+1}=f(U_p)$ hors $f$ est croissant sur $[\sqrt{2} ; +\infty[$ donc $U_{p+1} > U_p$
et donc $U_{p+1} > \sqrt{2}$
Je te laisse terminer la rédaction

[Jean]

Pourquoi Uo est plus grand que racine de 2

Uo = 0,5 et racine de 2 = 1,41 !?

[SoS-Math(33)]

Oui excuse moi c'est une erreur quand j'ai recopié,
$U_0$ n'est pas à prendre en compte puisque on demande pour n entier non nul; et effectivement il ne vérifie pas la condition en plus.
Désolé.

[Jean]

J'ai modifié ma récurrence mais je ne comprends pas certaines remarques de votre part.

Si je montre que U1 > que racine de 2 et que dans mon hérédité je trouve Up+1 < Up+2 cela montre que la fonction est supérieur à racine de 2

[SoS-Math(33)]

Pour pouvoir utiliser l’hypothèse sur $[\sqrt{2} ; +\infty[$ il te faut au moins une valeur de $n$ de cet intervalle pour laquelle $U_n$ vérifie cette hypothèse. Hors $1< \sqrt{2}$. C'est pour ça qu'il faut aller jusqu'à $n=2$ dans l'initialisation et ensuite te placer sur $[\sqrt{2} ; +\infty[$ car c'est uniquement sur cet intervalle que tu peux utiliser la croissance de la fonction.

[Jean]

J'ai donc mis dans ma récurrence U2 > racine de 2

Est-ce correcte cette fois-ci ?