Suite et triangle de Pascal

[Nathan]

D'accord, et comme on prend dans l'hérédité n supérieur ou égal à 2, cela veut dire que l'on effectue le raisonnement par récurrence pour n supérieur ou égal à 2, donc on fait l'initialisation pour n=2 et n=3 ?

Parce que sinon il y a un problème : que faire du cas où n=1 ?

Merci encore.

[SoS-Math(9)]

Nathan,

Puisque le cas n=1 et n=2 ont été vérifiés, on peut commencer par n > 2 dans l'hypothèse de récurrence.
Voici un lien, pour voir un exemple : https://www.youtube.com/watch?v=G_KqFsucyBs.

SoSMath.

[Nathan]

On peut commencer par n strictement supérieur à 2 ou par n supérieur ou égal à 2 ?

Merci beaucoup pour les explications, toujours très claires.

[SoS-Math(9)]

Nathan,
on peut commencer à \(n>2\) ou \(n \geqslant 2\), cela n'a pas d'importance car on a vérifié les cas n=1 et n=2.

SoSMath.

[Nathan]

C'est très clair, merci beaucoup !

Et j'ai aussi essayé un raisonnement par récurrence pour la question 4.a, mais il n'aboutit pas...

Sinon j'ai aussi pensé à un raisonnement avec un décalage d'indice, mais je bloque aussi...

Avez-vous une idée ?

Merci encore.

[SoS-Math(9)]

Nathan,

pour la question 4a, Il faut utiliser le fait que \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\) soit \(F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}\), puis faire la somme pour n allant de 1 à N.
Tu as alors une somme télescopique …

Pour la question 4b, utilise le fait que (Fn) est une suite récurrente linéaire … tu dois avoir du cours pour exprimer Fn en fonction de n.

SoSMath.

[Nathan]

En fait, je ne suis pas sûr d'avoir compris :

Pourquoi n'aurait-on pas cn=fn ?

Car au bout de 2 mois, le premier couple n'a pas encore produit de lapin, il devient fertile seulement au troisième mois, c'est-à-dire au bout de 2 mois, donc au début du troisième mois ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nathan,

Ce n'est que mon interprétation du texte. Tu as peut-être raison.
Mais cela ne change pas les méthodes pour répondre aux questions. Si tu veux tu peux prendre cn=fn.

SoSMath.

[Nathan]

D'accord, merci beaucoup. Excusez-moi de vous avoir dérangé.

Donc on a même dans ce cas une récurrence double pour la question 3.d ?

Ensuite, je bloque pour la question 4.a malgré votre piste de recherche, je suis vraiment mauvais, désolé...

Je m'embrouille : pourquoi a-t-on n et N dans cette question 4.a ?

[SoS-Math(9)]

Oui, cela ne change rien pour la question 3a.

Question 4a :
On a : \(F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}\)
donc \(\sum_{n=1}^{N} F_{n}=\sum_{n=1}^{N}(F_{n+2}-F_{n+1})\) = (\(F_3-F_2\)) + (\(F_4-F_3\))+ … + (\(F_{n+1}-F_{n}\)) + (\(F_{N+2}-F_{N+1}\))

Pour la question 4b, voici un peu d'aide : https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_récurrente_linéaire

SoSMath.

[Nathan]

Désolé mais je me posais encore une question pour la 3.d :

vous me dîtes que l'on peut commencer l'hypothèse de récurrence par n supérieur ou égal à 2, mais ne vouliez-vous pas plutôt dire que l'on peut commencer l'hérédité à n supérieur ou égal à 2 ?

Merci encore pour l'aide.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Nathan,

L'hypothèse de récurrence, c'est ce qui te permet de démontrer l'hérédité.

SoSMath.

[Nathan]

D'accord, donc je peux bien écrire :

"Nous allons démontrer que pour tout n supérieur ou égal à 1 : Cn=Fn+1.

Initialisation : ...

Hérédité : Soit n ≥ 2 tel que P(n) et P(n + 1) sont vraies. ....... "

Merci piour l'aide.

[SoS-Math(9)]

C'est bien ce qu'il faut faire.

SoSMath.

[Nathan]

Encore désolé de vous déranger, mais finalement dans l'hérédité il faut plutôt supposer que la propriété est vraie pour un entier naturel n supérieur ou égal à 1 et pour l'entier n-1 ?

Sinon on n'a pas les hypothèses de récurrence que vous mentionniez dans un précédent message, n'est-ce-pas ?

Merci.