Arithmétique

[Maxime]

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider à résoudre cette question s'il vous plaît ?

On pose \(a=2+\sqrt{3}\) et \(b=2-\sqrt{3}\)

1) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), il existe \(x_n\) et \(y_n\) entiers naturels tels que :

\(a^n=x_n+y_n\sqrt{3}\) et \(b^n=x_n-y_n\sqrt{3}\)

Bonne journée.

[sos-math(21)]

Bonjour,
l'existence des coefficients \(x_n\) et \(y_n\) se prouve en faisant une démonstration par récurrence.
Pose la propriété \(P_n\) : "il existe deux nombres entiers naturels \(x_n\) et \(y_n\) tels que \(a^n=x_n+y_n\sqrt{3}\) et \(b^n=x_n-y_n\sqrt{3}\) "
On voit clairement que \(P_0\) est vraie car \(a^0=1=1+0\times\sqrt{3}\) et \(b^0=1=1-0\times \sqrt{3}\) : on prend donc \(x_0=1\) et \(y_0=0\).
De même on peut prouver que \(P_1\) est vraie avec \(x_1=2\) et \(y_1=1\).
Ensuite, si on suppose que pour un rang \(n\) donné, la propriété \(P_n\) soit vraie : cela signifie qu'il existe deux nombres entiers naturels \(x_n\) et \(y_n\) tels que \(a^n=x_n+y_n\sqrt{3}\) et \(b^n=x_n-y_n\sqrt{3}\).
Maintenant il faut passer au rang \(n+1\) en remarquant que \(a^{n+1}=a^n\times a\) et \(b^{n+1}=b^n\times b\) puis en remplaçant les nombres par leurs expressions obtenues au-dessus (définition de a et b et hypothèse de récurrence).
Cela te mènera à des expressions pour \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) et l'hérédité sera ainsi prouvée.
Il te restera à conclure par récurrence.
Je te laisse faire ce travail,
Bonne continuation

[Maxime]

D'accord, j'ai compris. Je pensais qu'il fallait utiliser la formule du binôme de Newton !

Je pourrais donc en déduire \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) en fonction de \(x_n\) et \(y_n\).

[sos-math(21)]

Bonjour,
le binôme de Newton a de l'intérêt si tu élèves une somme de deux termes à la puissance \(n\) mais cela te produit une somme de \(n\) termes qui risque d'être compliquée à interpréter.
Bon courage

[Maxime]

\(a^{n+1}=a^n\times a\) et \(b^{n+1}=b^n\times b\)
\(a^{n+1}=x_n+y_n\sqrt{3}\times a\) et \(b^{n+1}=x_n-y_n\sqrt{3}\times b\)

Je remplace aussi a et b ?

[SoS-Math(33)]

Oui il te faut faire le calcul pour trouver \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\)

[Maxime]

Je tombe sur ça :

\(x_{n+1} = ((x_n+y_n\sqrt{3})\times (2+\sqrt{3})))-y_{n+1}\sqrt{3}\)
\(x_{n+1}=((x_n-y_n\sqrt{3})\times (2-\sqrt{3})))+y_{n+1}\sqrt{3}\)

Je développe ?

[Maxime]

\(a^{n+1}=a^n.a=(x_n+y_n\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}+\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3}\)

\(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) sont bien des entiers naturels.

[SoS-Math(33)]

Attention,
il te faut développer dans les deux cas la partie de droite,
\(a^{n+1} = (x_n+y_n\sqrt{3})\times (2+\sqrt{3})\)
\(b^{n+1}=(x_n-y_n\sqrt{3})\times (2-\sqrt{3})\)
puis une fois terminé identifier \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) dans les développement obtenus

[SoS-Math(33)]

\(a^{n+1}=a^n.a=(x_n+y_n\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}+\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3}\)

\(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) sont bien des entiers naturels.

Il te faut faire aussi pour \(b^{n+1}\) et vérifier que tu obtiens bien les mêmes expressions pour \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\)

[Maxime]

\(b^{n+1}=b^n.b=(x_n-y_n\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}+\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3}\)

\(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) sont bien des entiers naturels.

[Maxime]

Erreur de signe au milieu.
Lire un -

[SoS-Math(33)]

Oui c'est bien ça,
dans les deux expressions tu trouves les mêmes valeurs pour \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) et ils sont bien des entiers naturels

[Maxime]

Jai parfaitement compris :)

2) Exprimer \(x_{n+1}\) et \(y_{n+1}\) en fonction de \(x_n\) et \(y_n\).

Il est trivial de se servir de la 1)

[SoS-Math(33)]

Oui avec le résultat des calculs tu as les expressions demandées.