Arithmétique

[Maxime]

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider à résoudre cette question s'il vous plaît ?

On pose $a=2+\sqrt{3}$ et $b=2-\sqrt{3}$

1) Montrer que pour tout entier naturel $n$, il existe $x_n$ et $y_n$ entiers naturels tels que :

$a^n=x_n+y_n\sqrt{3}$ et $b^n=x_n-y_n\sqrt{3}$

Bonne journée.

[sos-math(21)]

Bonjour,
l'existence des coefficients $x_n$ et $y_n$ se prouve en faisant une démonstration par récurrence.
Pose la propriété $P_n$ : "il existe deux nombres entiers naturels $x_n$ et $y_n$ tels que $a^n=x_n+y_n\sqrt{3}$ et $b^n=x_n-y_n\sqrt{3}$ "
On voit clairement que $P_0$ est vraie car $a^0=1=1+0\times\sqrt{3}$ et $b^0=1=1-0\times \sqrt{3}$ : on prend donc $x_0=1$ et $y_0=0$.
De même on peut prouver que $P_1$ est vraie avec $x_1=2$ et $y_1=1$.
Ensuite, si on suppose que pour un rang $n$ donné, la propriété $P_n$ soit vraie : cela signifie qu'il existe deux nombres entiers naturels $x_n$ et $y_n$ tels que $a^n=x_n+y_n\sqrt{3}$ et $b^n=x_n-y_n\sqrt{3}$.
Maintenant il faut passer au rang $n+1$ en remarquant que $a^{n+1}=a^n\times a$ et $b^{n+1}=b^n\times b$ puis en remplaçant les nombres par leurs expressions obtenues au-dessus (définition de a et b et hypothèse de récurrence).
Cela te mènera à des expressions pour $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ et l'hérédité sera ainsi prouvée.
Il te restera à conclure par récurrence.
Je te laisse faire ce travail,
Bonne continuation

[Maxime]

D'accord, j'ai compris. Je pensais qu'il fallait utiliser la formule du binôme de Newton !

Je pourrais donc en déduire $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.

[sos-math(21)]

Bonjour,
le binôme de Newton a de l'intérêt si tu élèves une somme de deux termes à la puissance $n$ mais cela te produit une somme de $n$ termes qui risque d'être compliquée à interpréter.
Bon courage

[Maxime]

$a^{n+1}=a^n\times a$ et $b^{n+1}=b^n\times b$
$a^{n+1}=x_n+y_n\sqrt{3}\times a$ et $b^{n+1}=x_n-y_n\sqrt{3}\times b$

Je remplace aussi a et b ?

[SoS-Math(33)]

Oui il te faut faire le calcul pour trouver $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$

[Maxime]

Je tombe sur ça :

$x_{n+1} = ((x_n+y_n\sqrt{3})\times (2+\sqrt{3})))-y_{n+1}\sqrt{3}$
$x_{n+1}=((x_n-y_n\sqrt{3})\times (2-\sqrt{3})))+y_{n+1}\sqrt{3}$

Je développe ?

[Maxime]

$a^{n+1}=a^n.a=(x_n+y_n\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}+\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3}$

$x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ sont bien des entiers naturels.

[SoS-Math(33)]

Attention,
il te faut développer dans les deux cas la partie de droite,
$a^{n+1} = (x_n+y_n\sqrt{3})\times (2+\sqrt{3})$
$b^{n+1}=(x_n-y_n\sqrt{3})\times (2-\sqrt{3})$
puis une fois terminé identifier $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ dans les développement obtenus

[SoS-Math(33)]

$a^{n+1}=a^n.a=(x_n+y_n\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}+\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3}$

$x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ sont bien des entiers naturels.

Il te faut faire aussi pour $b^{n+1}$ et vérifier que tu obtiens bien les mêmes expressions pour $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$

[Maxime]

$b^{n+1}=b^n.b=(x_n-y_n\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=\underbrace{2x_n+3y_n}_{x_{n+1}}+\underbrace{(x_n+2y_n)}_{y_{n+1}}\sqrt{3}$

$x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ sont bien des entiers naturels.

[Maxime]

Erreur de signe au milieu.
Lire un -

[SoS-Math(33)]

Oui c'est bien ça,
dans les deux expressions tu trouves les mêmes valeurs pour $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ et ils sont bien des entiers naturels

[Maxime]

Jai parfaitement compris :)

2) Exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.

Il est trivial de se servir de la 1)

[SoS-Math(33)]

Oui avec le résultat des calculs tu as les expressions demandées.