démonstration de la propriété de vecteurs égaux

[léo]

Bonsoir

Nous avons vu cette propriété sur les vecteurs :
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

ensuite, nous avons vu cette démonstration :
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), la translation de vecteur AB transforme le point D en C alors les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de meme longueur
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme

Les propriétés précédentes que nous avons vu, comme :
Si le quadrilatère ABCD a 2 cotés opposés parallèles deux à deux alors c'est un parallélogramme


pour démontrer la propriété avec les vecteurs : j'utilise une propriété du parallélogramme ( double parallélisme )
par contre pour démontrer la propriété : si un quadrilatère a deux cotés opposés parallèles et de meme longueur alors c'est un parallélogramme
j'ai l'impression de tourner en round, je n'abouti à rien ( j'ai un problème de logique )

Pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne comprends pas trop ton problème : qu'est-ce que tu cherches à démontrer ?
Si un quadrilatère ABCD a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors il y a deux vecteurs qui sont soit opposés soit égaux :
Par exemple, si on dit que \((AB)//(CD)\) et \(AB=CD\) alors on a soit \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) ou bien \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}\). Donc on ne peut pas conclure.... Il faudrait rajouter "non croisé" de sorte que l'on ait les deux vecteurs qui aient aussi le même sens donc on aura bien égalité de vecteurs.
Je ne sais pas si j'ai répondu à ta question
Bonne continuation

[léo]

Bonsoir Sos math (21)

Je vous remercie de m'avoir répondu très rapidement, c'est toujours un plaisir d'avoir une réponse de votre part

à vrai dire, je n'avais pas compris la raison pour laquelle il faut préciser parallélogramme non croisé

[léo]

si je nomme le parallélogramme ABCD : on va dans le sens des aiguilles d'une montre donc il s'agit du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et du vecteur \(\overrightarrow{DC}\)

Maintenant, je considère que ce parallélogramme est croisé :
c'est à dire ABCD avec C en dessous du A
et dans ce cas on a \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)

[sos-math(21)]

Oui,
le parallélogramme est dans la logique des choses non tourné mais ce n'est pas parce que l'on dit ABCD que les points font le tour de la figure sans se croiser. C'est vrai dès que l'on met une figure avec la propriété : tu parles toi-même de C en dessous du A, qui correspond au cas d’une figure croisée : cela prouve bien que tu précises d'emblée un quadrilatère non croisé pou obtenir la propriété.
Donc oui, dans ce cas, il n'y a pas de problème, cela mène à l'égalité de vecteurs et au parallélogramme.
Est-ce que l'on est d'accord ?

[léo]

Re - Bonsoir

quand je parle de C en dessous du A : en fait je veux dire ça

[léo]

ABCD avec le C en dessous du A

et c'est ce que j'appelle un parallélogramme croisé, je ne précise pas un quadrilatère non croisé ( c'est ce que vous avez compris dans le message de 20:47

[sos-math(21)]

Bonjour
J’ai compris ta précision, je pense que je me suis simplement mal exprimé.
Est-ce que la difficulté est levée de ton côté ?
Bonne continuation

[léo]

Bonsoir Sos 21

Désolé de vous embêté mais je n'ai pas compris pourquoi il faut préciser un parallélogramme qui est non croisé pour avoir les deux vecteurs qui aient le meme sens

[SoS-Math(30)]

Bonsoir Léo,

D'après les messages précédents que je lis, en particulier celui de mardi 21h25, il me semble que tu as compris la différence entre parallélogramme croisé ou non croisé et la traduction vectorielle de chacun des deux cas.

SoSMath

[léo]

Bonjour

oui, pour la traduction vectorielle, ça je comprends

[léo]

si un quadrilatère a deux cotés opposés et de même longueurs alors on va avoir deux vecteurs qui seront soit égaux soit de sens contraires
je sais que la direction est la même parce que les droites sont parallèles et je sais aussi que les longueurs sont les mêmes
donc j'ai deux caractéristiques qui me permettent de parler de deux vecteurs

[léo]

maintenant, je ne sais pas le sens
c'est dire que je peux avoir AB = DC ou AB et -DC et dans ce cas je ne peux pas dire que AB = -DC
ça c'est impossible

[SoS-Math(9)]

Bonjour Léo,

Je te rappelle que l'ordre des lettres dans le nom d'un quadrilatère (donc d'un parallélogramme) a de l'importance afin d'éviter les quadrilatères croisés ...
Donc si ABCD est un parallélogramme, alors \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Si tu as \(\vec{AB} = \vec{CD}\), alors c'est ABDC qui est un parallélogramme.

SoSMath.

[léo]

oK
merci sos math