Maths

[SoS-Math(30)]

La deuxième.
Tu étais bloqué avec la première puisque tu n'avais pas les coefficients de \(A^{n}\)

[Pierre]

Mes questions doivent vous sembler évidentes ! Mais je « débute » concernant ce thème.

\(A^{n+1} = (a_nA + b_nI_3) \times A\)
\(A^{n+1} = a_nA² + b_nI_3A\)

Puis je remplaces par ce que je connais ?

[SoS-Math(30)]

Oui, je le sais bien.
Oui, tu peux remplacer \(A^{2}\) par \(5A-4I_{3}\).
Comme on te l'a dit dans un message précédent la matrice identité \(I_{3}\) "joue le rôle" de 1. Ainsi \(I_{3}\times A=A\).

SoSMath

[Invité]

Une fois de plus, merci de m'avoir répondu et de prendre du temps pour m'expliquer.

\(A^{n+1} = (a_nA + b_nI_3) \times A\)
\(A^{n+1} = a_nA² + b_nI_3A\)
\(A^{n+1} = a_n(5A - 4I_3) + b_nA\)
\(A^{n+1} = 5Aa_n - 4I_3a_n + b_nA\) or, \(I_3\) est "égal" à 1.
\(A^{n+1} = 5Aa_n - 4a_n + b_nA\)

[SoS-Math(30)]

Pour ta 4ème ligne, attention, ici \(I_{3}\) n'est pas multipliée par une matrice mais par un nombre, tu ne peux donc pas "enlever" \(I_{3}\).
Tu obtiens ainsi \(A^{n+1}=5a_{n}A-4a_{n}I_{3}+b_{n}A\).
D'où : \(A^{n+1}=(5a_{n}+b_{n})A-4a_{n}I_{3}\).
Ce qui te permet d'identifier \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\), et conclure ainsi l'hérédité, puis la récurrence !

SoSMath

[Pierre]

2) Démonstration par récurrence :

Soit la propriété \(P_n\) telle que « \(A^n = a_nA + b_nI_3\) ».

Initialisation : pour \(n\) = 0, on a :

\(A^0 = a_0A + b_0I_3\)
\(A^0 = I_3\)

Ce qui est vrai puisque la matrice A à la puissance 0 est égale à la matrice identité. De ce fait, \(P_0\) est vraie.

Hérédité :

Supposons la propriété \(P_n\) telle que « \(A^n = a_nA + b_nI_3\) » comme étant vraie pour un entier naturel \(n\).
Démontrons que la propriété \(P_{n+1}\) telle que « \(A^{n+1} = a_{n+1}A + b_{n+1}I_3\) » est également vraie.

\(A^{n+1} = A^n \times A\)
\(A^{n+1} = (a_nA + b_nI_3) \times A\)
\(A^{n+1} = a_nA² + b_nI_3A\)
\(A^{n+1} = a_n(5A - 4I_3) + b_nA\)
\(A^{n+1} = 5Aa_n - 4I_3a_n + b_nA\)
\(A^{n+1}=(5a_{n}+b_{n})A-4a_{n}I_{3}\)
\(A^{n+1} = a_{n+1}A + b_{n+1}I_3\)

Ainsi, \(P_{n+1}\) est également vraie.

Conclusion :

Nous avons montré que la propriété \(P_n\) est initialisée au rang \(n\) = 0, qu'elle est héréditaire donc vraie pour tout entier naturel \(n\).

[Pierre]

Bonsoir,

3) On introduit les suites \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définies par \(u_n = a_n + b_n\) et \(v_n = 4a_n + b_n\).
a) Calculer \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\). Que peut-on conjecturer ? Prouvez le.
b) Calculer \(v_0\), \(v_1\) et \(v_2\). Que peut-on conjecturer quant à la nature de la suite \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ? Prouvez le.

3) a) \(u_0 = a_0 + b_0 = 1\).
\(u_1 = a_1 + b_1 = 1\).
\(u_2 = a_2 + b_2 = 1\).

La conjecture est assez évidente non ?

On conjecture que pour tout entier naturel \(n, u_n\) = 1.

[SoS-Math(30)]

C'est bien Pierre.
OK pour la conjecture, reste à la prouver. As-tu une idée pour ce faire ?

SoSMath

[Pierre]

Bonjour,

Je dois démontrer que \(u_{n+1} = u_ n\) ce qui prouvera qu'il s'agit d'une suite constante.

Bon week-end.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu peux prouver que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=a_n+b_n=1\).
Cela se fait par récurrence : comme tu as montré que \(a_{n+1}=5a_n+b_n\) et que \(b_{n+1}=-4a_n\) alors en faisant la somme membre à membre, tu as
\(a_{n+1}+b_{n+1}=5a_n+b_n-4a_n=a_n+b_n\) ce qui va te permettre de faire l'hérédité.
Bonne rédaction

[Pierre]

Bonjour,

J'ai compris ce que vous dîtes mais je pensais qu'il était suffisant de dire que :

\(u_{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1} = 5a_n + b_n - 4a_n = a_n + b_n\).

Soit, \(u_{n+1} = u_n\) ce qui signifie que la suite \((u_n)_{n}\) est constante d'où la confirmation de la conjecture.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Pierre,

Je n'ai pas lu tout le sujet mais effectivement, pour montrer que la suite \((u_n)\) est constante, tu peux montrer que \(u_{n+1}=u_n\) pour tout \(n \geq 0\).

A bientôt !

[Invité]

3) a)

\(u_0 = 1\)
\(u_1 = 1\)
\(u_2 = 1\)

On conjecture que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est constante.

Démontrons-le :

\(u_{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1} = 5a_n + b_n - 4a_n = a_n + b_n\).

Soit, \(u_{n+1} = u_n\) ce qui signifie que la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est constante d'où la confirmation de la conjecture.

3) b)

\(v_0 = 1\)
\(v_1 = 4\)
\(v_2 = 16\)

On conjecture que la suite \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est géométrique de raison q = 4.

Démontrons-le :

\(v_{n+1} = 4a_{n+1} + b_{n+1}\)
\(v_{n+1} = 4(5a_n+b_n) - 4a_n\)
\(v_{n+1} = 20a_n + 4b_n - 4a_n\)
\(v_{n+1} = 16a_n + 4b_n\)
\(v_{n+1} = 4(4a_n + b_n)\)
\(v_{n+1} = 4v_n\)

Ainsi, la suite \((v_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est géométrique de raison q = 4.

[SoS-Math(25)]

Cela me semble correct. Donne aussi les valeurs du premier terme de chaque suite.

A bientôt !

[Pierre]

Merci à vous.

4) a) Déterminer les expressions de \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\).

De quoi dois-je me servir ?