Maths

[SoS-Math(30)]

La deuxième.
Tu étais bloqué avec la première puisque tu n'avais pas les coefficients de $A^{n}$

[Pierre]

Mes questions doivent vous sembler évidentes ! Mais je « débute » concernant ce thème.

$A^{n+1} = (a_nA + b_nI_3) \times A$
$A^{n+1} = a_nA² + b_nI_3A$

Puis je remplaces par ce que je connais ?

[SoS-Math(30)]

Oui, je le sais bien.
Oui, tu peux remplacer $A^{2}$ par $5A-4I_{3}$.
Comme on te l'a dit dans un message précédent la matrice identité $I_{3}$ "joue le rôle" de 1. Ainsi $I_{3}\times A=A$.

SoSMath

[Invité]

Une fois de plus, merci de m'avoir répondu et de prendre du temps pour m'expliquer.

$A^{n+1} = (a_nA + b_nI_3) \times A$
$A^{n+1} = a_nA² + b_nI_3A$
$A^{n+1} = a_n(5A - 4I_3) + b_nA$
$A^{n+1} = 5Aa_n - 4I_3a_n + b_nA$ or, $I_3$ est "égal" à 1.
$A^{n+1} = 5Aa_n - 4a_n + b_nA$

[SoS-Math(30)]

Pour ta 4ème ligne, attention, ici $I_{3}$ n'est pas multipliée par une matrice mais par un nombre, tu ne peux donc pas "enlever" $I_{3}$.
Tu obtiens ainsi $A^{n+1}=5a_{n}A-4a_{n}I_{3}+b_{n}A$.
D'où : $A^{n+1}=(5a_{n}+b_{n})A-4a_{n}I_{3}$.
Ce qui te permet d'identifier $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$, et conclure ainsi l'hérédité, puis la récurrence !

SoSMath

[Pierre]

2) Démonstration par récurrence :

Soit la propriété $P_n$ telle que « $A^n = a_nA + b_nI_3$ ».

Initialisation : pour $n$ = 0, on a :

$A^0 = a_0A + b_0I_3$
$A^0 = I_3$

Ce qui est vrai puisque la matrice A à la puissance 0 est égale à la matrice identité. De ce fait, $P_0$ est vraie.

Hérédité :

Supposons la propriété $P_n$ telle que « $A^n = a_nA + b_nI_3$ » comme étant vraie pour un entier naturel $n$.
Démontrons que la propriété $P_{n+1}$ telle que « $A^{n+1} = a_{n+1}A + b_{n+1}I_3$ » est également vraie.

$A^{n+1} = A^n \times A$
$A^{n+1} = (a_nA + b_nI_3) \times A$
$A^{n+1} = a_nA² + b_nI_3A$
$A^{n+1} = a_n(5A - 4I_3) + b_nA$
$A^{n+1} = 5Aa_n - 4I_3a_n + b_nA$
$A^{n+1}=(5a_{n}+b_{n})A-4a_{n}I_{3}$
$A^{n+1} = a_{n+1}A + b_{n+1}I_3$

Ainsi, $P_{n+1}$ est également vraie.

Conclusion :

Nous avons montré que la propriété $P_n$ est initialisée au rang $n$ = 0, qu'elle est héréditaire donc vraie pour tout entier naturel $n$.

[Pierre]

Bonsoir,

3) On introduit les suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies par $u_n = a_n + b_n$ et $v_n = 4a_n + b_n$.
a) Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$. Que peut-on conjecturer ? Prouvez le.
b) Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$. Que peut-on conjecturer quant à la nature de la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ? Prouvez le.

3) a) $u_0 = a_0 + b_0 = 1$.
$u_1 = a_1 + b_1 = 1$.
$u_2 = a_2 + b_2 = 1$.

La conjecture est assez évidente non ?

On conjecture que pour tout entier naturel $n, u_n$ = 1.

[SoS-Math(30)]

C'est bien Pierre.
OK pour la conjecture, reste à la prouver. As-tu une idée pour ce faire ?

SoSMath

[Pierre]

Bonjour,

Je dois démontrer que $u_{n+1} = u_ n$ ce qui prouvera qu'il s'agit d'une suite constante.

Bon week-end.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu peux prouver que pour tout entier naturel $n$, $u_n=a_n+b_n=1$.
Cela se fait par récurrence : comme tu as montré que $a_{n+1}=5a_n+b_n$ et que $b_{n+1}=-4a_n$ alors en faisant la somme membre à membre, tu as
$a_{n+1}+b_{n+1}=5a_n+b_n-4a_n=a_n+b_n$ ce qui va te permettre de faire l'hérédité.
Bonne rédaction

[Pierre]

Bonjour,

J'ai compris ce que vous dîtes mais je pensais qu'il était suffisant de dire que :

$u_{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1} = 5a_n + b_n - 4a_n = a_n + b_n$.

Soit, $u_{n+1} = u_n$ ce qui signifie que la suite $(u_n)_{n}$ est constante d'où la confirmation de la conjecture.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Pierre,

Je n'ai pas lu tout le sujet mais effectivement, pour montrer que la suite $(u_n)$ est constante, tu peux montrer que $u_{n+1}=u_n$ pour tout $n \geq 0$.

A bientôt !

[Invité]

3) a)

$u_0 = 1$
$u_1 = 1$
$u_2 = 1$

On conjecture que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante.

Démontrons-le :

$u_{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1} = 5a_n + b_n - 4a_n = a_n + b_n$.

Soit, $u_{n+1} = u_n$ ce qui signifie que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante d'où la confirmation de la conjecture.

3) b)

$v_0 = 1$
$v_1 = 4$
$v_2 = 16$

On conjecture que la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison q = 4.

Démontrons-le :

$v_{n+1} = 4a_{n+1} + b_{n+1}$
$v_{n+1} = 4(5a_n+b_n) - 4a_n$
$v_{n+1} = 20a_n + 4b_n - 4a_n$
$v_{n+1} = 16a_n + 4b_n$
$v_{n+1} = 4(4a_n + b_n)$
$v_{n+1} = 4v_n$

Ainsi, la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique de raison q = 4.

[SoS-Math(25)]

Cela me semble correct. Donne aussi les valeurs du premier terme de chaque suite.

A bientôt !

[Pierre]

Merci à vous.

4) a) Déterminer les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.

De quoi dois-je me servir ?