DM de math sur les réels niveau seconde

[Valentin]

Bonjour,

J'ai un DM de maths à rendre pour le 16 et en voici l'énoncé :

Existe-t'il des réels dont le carré de la différence de ce nombre et de 4 est égal au double de la somme de ce nombre et de 8 ? Si oui, les déterminer tous .

J'ai choisi le réel 1. Entre 1 et 4, la différence est 3.

3² = 9. Selon moi, je dois ensuite faire (1+8)*2 mais je me retrouve bloqué face aux différentes interprétations de l'énoncé car je ne sais pas si c'est le réel choisi qu'il faut multiplier par 2 dans la deuxième partie de l'énoncé.

Si quelqu'un peut m'aider à résoudre ce problème, je souhaiterais également une explication détaillée à ce propos.

Dans l'attente d'une réponse sympa, je vous souhaite une bonne soirée et un grand merci d'avance.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Valentin

Reprenons ton énonce :

le carré de la différence de ce nombre et de 4 est égal au double de la somme de ce nombre et de 8

Tu as choisi le nombre 1.

le carré de la différence de ce nombre et de 4

La différence de 1 et de 4 est bien 3 ; le carré de cette différence est alors \(3^2=9\) ; on est d'accord.

double de la somme de ce nombre et de 8

ici c'est bien du nombre choisi au départ dont on parle (dans ton cas du nombre 1).
Qu'est-ce que la somme de 1 et de 8 ? Quel est le double de cette somme ? Obtient-on 9 comme pour la première partie de la proposition?

Je te laisse réfléchir, a bientôt

[Valentin]

Bonjour,
Après un temps de méditation sur vos explications, j'en déduis ceci :
La somme de 1 et de 8 est 9. Le double de cette somme est donc (1+8)*2 = 18
18 étant le double de 9, je pense donc que 1 est un réel juste mais un doute persiste : la différence du nombre (x) et de 4. L'opération serait traduite ainsi : (x-4)² = x+8
Ainsi, 1-4 = (-3) et non 3.

Merci beaucoup pour toutes vos explications et pour votre gentillesse.

[Valentin]

Bonjour,

D'après mes calculs et de mes déductions, la somme de 1 et de 8 est 9. Le double de cette somme est donc 18. On obtient donc bel et bien 9 pour la première partie de la proposition. Le chiffre x = 1 est donc un des réels justes selon moi, mais la crainte d'une faute persiste toujours dans mes réflexions car je pense avoir très voire extrêmement mal compris l'énoncé qui, avec un peu de recul, doit être une question très simple à répondre mais je pense m'être perdu dans le texte.

Encore merci de votre patience et de vos explications envers moi.

[sos-math(21)]

Bonjour, tu as presque bien traduit avec les lettres :
\((x-4)^2=2(x+8)\)
\((1-4)^2=(-3)^4=9\) et \(2\times (1+8)=18\) donc 1 ne fonctionne pas.
Et si tu développais ton carré et que tu passais tout dans un seul membre, tu verrais que cela fait une équation que l'on peut résoudre en seconde
Bon courage

[Valentin]

Bonjour,

En fait, ceci revient à une équation. Merci de m'avoir éclairé sur le sujet.

D'autre part, je viens de recevoir la suite du DM hier par ma professeure qui a reporté la date du DM au mardi 20. Dans ce sujet, elle nous parle de démontrer une propriété par le raisonnement par l'absurde.
Voici le sujet :

Pour démontrer une propriété P, le principe du raisonnement par l'absurde est le suivant :
1. Je fais une hypothèse : je suppose que P est fausse, c'est-à-dire que le contraire de P est vrai.
2. De cette hypothèse, je vais déduire une série de conséquences dont une sera impossible.
3. Cela signifie alors que l'hypothèse de départ est absurde : il est impossible que P soit fausse !
Donc P est vraie. CQFD

Rappels : On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire \(\frac{a}{b}\) où a \(\in\) Z et b \(\in\) N*.
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel.

Dans cet exercice, on sait que \(\sqrt{5}\) est irrationnel.
On veut démontrer par l'absurde que 3+\(\sqrt{5}\) est lui aussi irrationnel.

a) Rédiger l'hypothèse à faire, en utilisant une fraction \(\frac{a}{b}\) et en précisant bien la nature de a et b.
b) Déduire de cette hypothèse que \(\sqrt{5}\) peut s'écrire \(\frac{a-3b}{b}\).
c) Expliquer pourquoi cette écriture de \(\sqrt{5}\) est impossible.
d) Conclure.


Pour ma part, j'ai noté ceci :
a) Soient a et b des nombres entiers où a \(\in\) Z et b \(\in\) N*. Ainsi le nombre \(\frac{a}{b}\) est un nombre rationnel.
Je ne sais pas si c'est juste. Ceci dit, je n'ai rien compris aux quatre exercices.

Encore mille mercis pour votre chaleureuse aide et soutien.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Valentin,

Tu as oublié une petite chose au début ....
On suppose que \(3+\sqrt{5}\) est un rationnel, donc il existe a et b des nombres entiers où a ∈ Z et b ∈ N*, tel que \(3+\sqrt{5}=\frac{a}{b}\).
Je te laisse terminer les questions suivantes.

SoSMath.

[Valentin]

Bonjour,

Donc j'en déduis qu'on va supposer que 3+\(\sqrt{5}\) est un nombre rationnel donc il existe des nombres entiers a et b où a \(\in\) Z et b \(\in\) N* de telle manière que 3+\(\sqrt{5}\) = \(\frac{a}{b}\). Ceci est donc la réponse de la question a) ? Corrigez-moi si nécessaire s'il vous plaît.

Voici ce que j'en déduis pour la question b) :

b) Déduire de cette hypothèse que \(\sqrt{5}\) peut s'écrire \(\frac{a-3b}{b}\).

Si 3+\(\sqrt{5}\) est un nombre rationnel, alors \(\sqrt{5}\) est lui aussi un nombre rationnel. Il peut ainsi s'écrire de la façon : \(\frac{a-3b}{b}\).

Pour la question c) :

c) Expliquer pourquoi cette écriture de \(\sqrt{5}\) est impossible.

A laquelle je pense la réponse suivante : cette écriture de \(\sqrt{5}\) est impossible car \(\sqrt{5}\) n'est pas une opération engendrant un chiffre dont les décimales ont une fin définie comme par exemple la fraction \(\frac{1}{3}\).

J'en conclus pour la question d) qui est la conclusion de l'exercice ceci :

Selon le principe du raisonnement par l'absurde, \(\sqrt{5}\) et 3+\(\sqrt{5}\) ne sont pas des nombres rationnels car leurs nombres décimaux ne comprennent pas une fin définie de la même manière que \(\frac{1}{3}\), contrairement aux nombres tels que \(\frac{1}{2}\) ou \(\sqrt{25}\) par exemples.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Valentin,

Pour la question c, il suffit de dire que \(\sqrt{5}\) est irrationnel (c'est une donné de l'exercice).
Pour le reste ça va.

SoSMath.

[Valentin]

Bonjour,

Je tenais à vous remercier pour votre gentillesse, votre aide, votre compréhension et votre patience.

Bonne fin de week-end,

Cordialement,

Valentin

[SoS-Math(31)]

Merci Valentin. Bon dimanche et à bientôt sur le forum.