DM- Vecteurs colinéaires

[Manon]

Bonsoir,

Je dois réaliser un devoir maison pour la rentrée (2 mars 2016). Mais j'ai un problème à l'exercice n°4 (ci-joint l'énoncé de l'ex.)
Je sais comment réaliser mon exercice : Démontrer la proportionnalité entre les vecteurs \(\overrightarrow{AF}\) et \(\overrightarrow{AE}\), ce qui montrera aussi l'alignement des points A, F et E...
Mon raisonnement se trouve également dans les fichiers joints.
Me voilà bloquée à la décomposition de \(\overrightarrow{AE}\). Il me faut seulement un résultat avec les vecteurs \(\overrightarrow{DB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) mais il se trouve que je n'arrive pas à enlever le vecteur \(\overrightarrow{DA}\) (cf. ma dernière ligne).
Ai-je fait une erreur dans mes "calculs"? Dois-je procéder autrement ? Pourriez-vous me donner un indice afin de trouver la solution au problème ?

J'espère que mon message est assez clair...

Merci d'avance,
Manon

18022016183100.pdf

Mon exercice étant le N°4

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[sos-math(21)]

Bonjour,
je te conseille de décomposer les vecteurs \(\vec{AE}\) et \(\vec{AF}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{BC}\).
Tu obtiendras que \(\vec{AF}=\frac{6}{7}\vec{AE}\).
Il faut partir de \(\vec{AE}=\vec{AB}+\vec{BE}=...\)
et \(\vec{AF}=\vec{AB}+\vec{BF}=\vec{AB}+\frac{3}{7}\vec{BD}\)
puis décomposer \(\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}=....\)
Bon courage

[Manon]

Bonjour,

Tout d'abord, merci pour votre réponse ! Cela m'a vraiment aidée, en revanche, j'ai un dernier problème à la fin avec \(\overrightarrow{AF}\) : je trouve \(\overrightarrow{AE}\)\(\geq\)\(\overrightarrow{AF}\) (sans le =)

Voici mes calculs à partir de la décomposition de \(\overrightarrow{BD}\) :

\(\overrightarrow{AF}\) = \(\overrightarrow{AB}\) + \(\frac{3}{7}\)(\(\overrightarrow{BA}\) + \(\overrightarrow{AD}\))
= \(\overrightarrow{AB}\) + \(\frac{3}{7}\)(\(\overrightarrow{BA}\) + \(\frac{2}{3}\)\(\overrightarrow{AC}\))
= \(\overrightarrow{AB}\) + \(\frac{3}{7}\)\(\overrightarrow{BA}\) + \(\frac{6}{21}\)\(\overrightarrow{AC}\)
= \(\overrightarrow{AB}\) + \(\frac{15}{21}\)\(\overrightarrow{BC}\)
= \(\overrightarrow{AB}\) + \(\frac{5}{7}\)\(\overrightarrow{BC}\)
= \(\frac{36}{21}\)\(\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{AE}\) = \(\frac{28}{21}\)\(\overrightarrow{AC}\)

OÙ se trouve mon erreur ?

Merci encore,

Manon

[SoS-Math(9)]

Bonjour Manon,

Ton erreur est la suivante :
\(\frac{3}{7}\overrightarrow{BA}+\frac{6}{21}\overrightarrow{AC}\neq\frac{15}{21}\overrightarrow{BC}\).

Si tu veux utiliser la relation de Chasles, il faut le même coefficient devant les vecteurs :
\(a\overrightarrow{BA}+a\overrightarrow{AC}=a(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=a\overrightarrow{BC}\).

SoSMath.

[Manon]

Ah oui, c'est vrai... Merci de me le rappeler ! Mais dans ces cas là, comment faire ? Je ne comprend vraiment plus et tout s'embrouille: ma feuille est un torchon à cause de mes essais ratés ! :)

Pouvez-vous m'éclairer ?

Merci beaucoup,

Manon

[SoS-Math(25)]

Bonjour Manon,

Je reprends tes calculs. Le but est d'écrire \(\overrightarrow{AF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) :

\(\overrightarrow{AF}\) = \(\overrightarrow{AB}\) + \(\frac{3}{7}\)(\(\overrightarrow{BA}\) + \(\overrightarrow{AD}\))
= \(\overrightarrow{AB}\) + \(\frac{3}{7}\)(\(\overrightarrow{BA}\) + \(\frac{2}{3}\)\(\overrightarrow{AC}\))
= \(\overrightarrow{AB}\) + \(\frac{3}{7}\)\(\overrightarrow{BA}\) + \(\frac{6}{21}\)\(\overrightarrow{AC}\)

Ensuite, décompose \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\). Il ne restera que des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\)

Ecrire \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) est beaucoup plus simple. As-tu trouvé ?

Bon courage !

[Manon]

Bonjour,

Je fini par trouver ces résultats :

\(\overrightarrow{AE}\) = \(\overrightarrow{AB}\) + \(\frac{7}{21}\)\(\overrightarrow{BC}\)
ET
\(\overrightarrow{AF}\) = \(\frac{18}{21}\)\(\overrightarrow{AB}\) + \(\frac{6}{21}\)\(\overrightarrow{BC}\)

Cela est-il correct? Ou dois-je laisser le vecteur \(\overrightarrow{BA}\) (car je l'ai soustrait de \(\frac{27}{21}\)\(\overrightarrow{AB}\)) ?

Manon

[SoS-Math(25)]

C'est très bien.

Maintenant essaye de faire ressortir \(\overrightarrow{AE}\) dans l'expression de \(\overrightarrow{AF}\). Commence peut-être par simplifier les fractions.

Bon courage !

[Manon]

SUPER !!! Merci beaucoup pour votre aide et votre temps, j'ai enfin réussi! Il m'a fallut de la patience, de la réflexion et du temps mais j'y suis arrivée !

Merci pour votre aide SOS Maths !

Manon

[SoS-Math(9)]

C'est bien Manon.

A bientôt sur SoSMath.