IMG.pdf- Énoncé des exercices
- (277.49 Kio) Téléchargé 397 fois
J'ai les exercices à faire et j'aimerai savoir si mes réponses pour l'exercice 1 sont complètes car je ne suis pas sûr de moi....
1) a. On procède par disjonction des cas :
- si a = 2k alors a² = 4k²
- si a = 2k+1 alors a² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k²+k+1)
a et a² sont de même de parité donc si a² est impair, a l'est aussi.
b. On sait que a est impair et a = 2k+1
Or, a²-1 = (2k+1)-1
= 4k²+4k+1-1
= 4k²+4k
= 4(k²+k)
Donc a²-1 est un multiple de 4.
On sait que a²-1 = 2b²
Or, a²-1 = 4(k²+k) = 2b²
Donc b est pair.
c. a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD (a,b) = 1
Soit d un diviseur positif commun à a et b. Si d|a² et d|2b² alors d|a²-2b² <=> d|1
On en déduis PGCD (a,b) = 1, donc a et b sont premiers entre eux.
2) a. Une solution évidente de l'équation (1) a²-2b² = 1 est le couple (1;0) avec a = 1 et b = 0 car 1²-2*0 = 1-0 = 1
b. Il faut remplacer a par 3a+4b et b par 2a+3b dans l'équation (1) et vérifier que l'égalité vaut 1.
a²-2b² = (3a+4b)²-2*(2a+3b) = 9a²+24ab+16b²-2*(4a²+12ab+9b²) = 9a²+24ab+16b²-8a²-24ab-18b² = a²-2b² (or a²-2b² = 1) = 1
Donc le couple ( 3a+4b ; 2a+3b) est solution de l'équation (1).
c. (1;0) est un couple de solution (la solution évidente) donc avec la formule précédente, on en trouve un autre : (3*1+4*0 ; 2*1+3*0) = (3;2) est un couple de solution.
(3;2) est un couple de solution donc avec la formule précédente, on en trouve un autre : (3*3+4*2 ; 2*3+3*2) = (17;12) est un couple de solution.
(17;12) est un couple de solution donc avec la formule précédente, on en trouve un autre : (3*17+4*12 ; 2*17+3*12) = (99;70) est un couple de solution.