Suite non majorée

[Pierre]

Bonjour, je vous met toute l'énoncer mais je bloque à partir de la deuxième :
u est la suite définie par U0=2 pour tout nombre entier naturel n, Un+1 = (Un^2)/Un-1
a) Démontrer que la suite U est minorée par 2
b) Déterminer le sens de variation de u
c) Démontrer que la suite u ne peut converger vers aucun nombre réel l
d) Démontrer, en raisonnant par l'absurde que u n'est pas majorée. En déduire la limite de la suite u.

( J'ai démontré la a) par récurrence et la b) j'ai fait le calcul (Un+1)-Un et je trouve Un/Un-1 mais je ne sais pas quoi en faire.... quant au c) je me suis servi de la relation f(x)=(x^2)/ x-1 et j'ai résolu (x^2)/x-1 pour trouver x/(x-1) mais je ne sais pas quoi en conclure non plus...

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Pierre,

Pour la question b), ton travail est bon ... pour conclure il faut utiliser la question a) !
tu as montré que pour tout entier n, \(2\leq u_n\), donc (Un) est strictement positif, donc Un/Un-1 > 0 ....

Pour le c), tu peux faire un raisonnement par l'absurde en supposant que (Un) converge vers un réel l.

SoSMath.

[angel]

bonjour, je suis en difficulté aussi pour ce dm est je ne comprend pas comment montrer qu'elle est minorée par 2. j'ai commencé une récurrence et je suis à la démonstration où Up>=2 :( pouvez vous m'aidez svp

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Angel,

Peux-tu m'envoyer le début de ta démonstration pour que je puisse t'aider ?

SoSMath.

[angel]

initialisation : si n=0 alors Uo=2 or Un>=2 car 2>=2 ainsi ma propriété est vérifiée pour le 1 er terme de la suite
hérédité : je suppose que ma propriété est vraie pour un certain indice p : Up>=2
je dois montrer que ma propriété est vraie pour un certain indice p+1 : Up+1>=2
Démonstration : Up>=2
et après je bloque :(

[SoS-Math(9)]

Bonjour Angel,

Le début est bon.
Pour démontrer le rang suivant, il faut étudier sur [2 ; +oo[ les variations de la fonction associée à la suite ...
\(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\).
Avec ces variations tu vas pouvoir montrer que si up >=2, alors f(up) = u(p+1) >= 2 ....

SoSMath.

[angel]

avec le tableau de signe et variation on constate que la fonction est croissante de [2;+infinie[
or on sait donc que : Up<=Up+1
donc f(Up)>=Up
et puisque Up>=2 alors f(Up)>=2 car la fonction est croissante ?

[SoS-Math(9)]

Angel,

Il y a une petite erreur ...
puisque Up>=2 alors f(Up)>=f(2) (et non 2) car la fonction est croissante.
donc U(p+1) >= f(2)=4 soit U(p+1) >= 4 mais 4 > 2, donc U(p+1) >= 2.

SoSMath.

[angel]

super, merci beaucoup de votre aide :) donc pour le sens de variation de u elle est croissante de [2;+infinie[
par contre j'avais une question intermédiaire entre la b) et la c) : résoudre sur R l'équation x=x²/(x-1)
donc x(x-1)=x²
x²-x=x²
0=x ?
après pour la c) je sais qu'il faut démontrer par l'absurde qu'elle ne peut pas converger mais je n'y arrive pas :(

[sos-math(20)]

Bonjour,

La résolution de ton équation est correcte.

Par contre une petite erreur de rédaction à corriger : on dit que la suite u est croissante à partir de n=2 et pas sur \([2 ; + \infty [\).

Bonne journée

SOS-math

[angel]

merci, pour la c) je sais qu'il faut démontrer par l'absurde qu'elle ne peut pas converger mais je n'y arrive pas :(

[sos-math(20)]

Tu te trompes de question : dans la c) il n'est pas question de raisonnement par l'absurde, c'est dans la d).

SOS-math

[angel]

notre professeur nous a dit d'utiliser l absurde pour la c) mais avec ou sans absurde je ne comprend pas comment faire

[sos-math(20)]

Soit, raisonnons par l'absurde : supposons que la suite u converge vers un nombre réel l; alors de quelle équation sera solution le nombre l ?

SOS-math

[angel]

Une équation ? je sais qu'une suite (Un) converge vers un réel L si pour tout intervalle I aussi petit soit-il contenant L, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang