cos et sin

[Sophie]

Bonjour

Je commence les cos-sin et j'ai quelques problèmes de compréhension.

Résoudre dans R les équations suivantes:

1)
sin(x+\(\frac{pi}{6}\) )=1
sin(x+\(\frac{pi}{6}\) )=sin\(\frac{pi}{2}\)
(x+\(\frac{pi}{6}\) )=\(\frac{pi}{2}\)+2kpi
x=\(\frac{pi}{3}\)+2kpi
x=\(\frac{pi}{3}\)+[2pi]


et
(x+\(\frac{pi}{6}\) )=(pi-\(\frac{pi}{2}\))+2k'pi
x= \(\frac{pi}{3}\)+2k'pi
x=\(\frac{pi}{3}\)+[2pi]

Pourquoi calcule t'on de ces 2 façons?
Pourquoi calculer (pi-\(\frac{pi}{2}\))?

2)
cos(2x)=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
cos(2x)=cos (\(\frac{pi}{4}\))
2x= (\(\frac{pi}{4}\))+2pi
x=(\(\frac{pi}{8}\))+2pi

et
2x= (\(\frac{-pi}{4}\))+2pi
x=(\(\frac{-pi}{8}\))+2pi

Je ne comprends pas pourquoi "2pi"? Est ce obligatoire de les mettre?

Merci pour votre aide

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Sophie,

Pour la première question : Je ne vois pas la nécessité de faire les deux méthodes.

Pour la seconde question : Il y a bien deux cas cette fois-ci on doit distinguer \(x=\frac{\pi}{4}\) et \(x={-\frac{\pi}{4\) mais la suite du calcul est incorrect : \(2x = \frac{\pi}{4}+k\times 2\pi\) va donner \(x=\frac{\pi}{8}+k\times \pi\), il faut tout diviser par 2.
On est obligé de garder \(k\times 2\pi\) car on veut toutes les solutions et tous les angles dont les mesures vont de \(2\pi\) en \(2\pi\) donnent le même point du cercle trigonométrique et ont donc le même sinus (et aussi le même cosinus).

Bonne continuation

[sophie]

Bonjour

J'ai enfin compris!

Merci

[Sophie]

J'ai encore une petite question:
Si j'ai bien compris, dans le calcul des cos, il y a toujours deux solutions de signes contraires (ex:\(\frac{pi}{8}\) et \(\frac{-pi}{8}\) ) dans le 2 ???

Merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour Sophie,
Oui ici les solutions sont \(x=\frac{\pi}{8}+k\pi\) et \(x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\), avec k entier relatif.
Il faut essayer de représenter les points du cercle trigonométrique d'abscisses curviligne ces nombres.
Cela donne 4 points.
Bon courage.

[Sophie]

Bonjour,

Désolée je ne comprends pas "Il faut essayer de représenter les points du cercle trigonométrique d'abscisses curviligne ces nombres. Cela donne 4 points."

Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait?"

Merci

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Dès qu'on résout une équation trigonométrique, les fonctions sinus et cosinus étant périodiques, il y a une infinité de solutions qui se répètent de manière périodique, c'est pourquoi lorsqu'on résout une équation de ce type, on écrit \(x_0+2k\pi\), avec \(k\) entier relatif, pour avoir toutes les solutions.
Par exemple pour résoudre l'équation \(\cos(x)=\frac{1}{2}\), on regarde ce qui se passe sur le cercle trigonométrique donc dans \(]-\pi\,;\,\pi]\), cela correspond aux points du cercle ayant pour abscisse \(\frac{1}{2}\): il y a deux points du cercle donc deux nombres de l'intervalle \(]-\pi\,;\,\pi]\) qui sont solutions : \(x_0=-\frac{\pi}{3}\) et \(x_1=\frac{\pi}{3}\) . Comme la fonction cosinus est périodique de période \(2\pi\), on a alors pour tout entier k \(\cos(x_0+2k\pi)=\cos(x_0)=\frac{1}{2}\) donc tous les nombres de cette forme sont solutions.
Cela nous donne les solutions sur \(\mathbb{R}\).
Donc oui, les \(2k\pi\) sont importants dès qu'il s'agit de résoudre dans \(\mathbb{R}\).
Maintenant si l'équation est \(\cos(2x)=\frac{1}{2}\), on a alors \(2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\) et \(2x=\frac{\pi}{3}+2k'\pi\) ce qui donne en divisant par 2 :
\(2x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\) et \(x=\frac{\pi}{6}+k'\pi\) : il faut tout diviser par 2 : les solutions reviennent tous les \(\pi\), \(x\mapsto \cos(2x)\) étant périodique de période \(\pi\).
Voilà pour les explications, dans un premier temps, attache toi à résoudre dans un intervalle d'amplitude \(2\pi\), par exemple \(]-\pi\,;\,\pi]\).
Bon courage

[ferdinand]

j'ai un petit soucis

pourquoi pour \(2x=\frac{\pi}{4}+k\times2\pi\) au lieu de diviser \(\frac{\pi}{4}+k\times2\pi\) par 2 on ne le fait mais c'est seulement le\(\frac{\pi}{4}\) qu'on divise?

[sos-math(21)]

Bonjour,
On le fait partout :
Si tu divises \(\frac{\pi}{4}+2k\pi\) par deux tu obtiens \(\frac{\pi}{8}+k\pi\), et de même pour l'autre.
C'est ce que t'a dit sos-math(1) :

Bonjour Sophie,
Oui ici les solutions sont \(x=\frac{\pi}{8}+k\pi\) et \(x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\), avec k entier relatif.
Il faut essayer de représenter les points du cercle trigonométrique d'abscisses curviligne ces nombres.
Cela donne 4 points.
Bon courage.

Bon courage