cos et sin

[Sophie]

Bonjour

Je commence les cos-sin et j'ai quelques problèmes de compréhension.

Résoudre dans R les équations suivantes:

1)
sin(x+$\frac{pi}{6}$ )=1
sin(x+$\frac{pi}{6}$ )=sin$\frac{pi}{2}$
(x+$\frac{pi}{6}$ )=$\frac{pi}{2}$+2kpi
x=$\frac{pi}{3}$+2kpi
x=$\frac{pi}{3}$+[2pi]


et
(x+$\frac{pi}{6}$ )=(pi-$\frac{pi}{2}$)+2k'pi
x= $\frac{pi}{3}$+2k'pi
x=$\frac{pi}{3}$+[2pi]

Pourquoi calcule t'on de ces 2 façons?
Pourquoi calculer (pi-$\frac{pi}{2}$)?

2)
cos(2x)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
cos(2x)=cos ($\frac{pi}{4}$)
2x= ($\frac{pi}{4}$)+2pi
x=($\frac{pi}{8}$)+2pi

et
2x= ($\frac{-pi}{4}$)+2pi
x=($\frac{-pi}{8}$)+2pi

Je ne comprends pas pourquoi "2pi"? Est ce obligatoire de les mettre?

Merci pour votre aide

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Sophie,

Pour la première question : Je ne vois pas la nécessité de faire les deux méthodes.

Pour la seconde question : Il y a bien deux cas cette fois-ci on doit distinguer $x=\frac{\pi}{4}$ et $x={-\frac{\pi}{4$ mais la suite du calcul est incorrect : $2x = \frac{\pi}{4}+k\times 2\pi$ va donner $x=\frac{\pi}{8}+k\times \pi$, il faut tout diviser par 2.
On est obligé de garder $k\times 2\pi$ car on veut toutes les solutions et tous les angles dont les mesures vont de $2\pi$ en $2\pi$ donnent le même point du cercle trigonométrique et ont donc le même sinus (et aussi le même cosinus).

Bonne continuation

[sophie]

Bonjour

J'ai enfin compris!

Merci

[Sophie]

J'ai encore une petite question:
Si j'ai bien compris, dans le calcul des cos, il y a toujours deux solutions de signes contraires (ex:$\frac{pi}{8}$ et $\frac{-pi}{8}$ ) dans le 2 ???

Merci

[SoS-Math(1)]

Bonjour Sophie,
Oui ici les solutions sont $x=\frac{\pi}{8}+k\pi$ et $x=-\frac{\pi}{8}+k\pi$, avec k entier relatif.
Il faut essayer de représenter les points du cercle trigonométrique d'abscisses curviligne ces nombres.
Cela donne 4 points.
Bon courage.

[Sophie]

Bonjour,

Désolée je ne comprends pas "Il faut essayer de représenter les points du cercle trigonométrique d'abscisses curviligne ces nombres. Cela donne 4 points."

Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait?"

Merci

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Dès qu'on résout une équation trigonométrique, les fonctions sinus et cosinus étant périodiques, il y a une infinité de solutions qui se répètent de manière périodique, c'est pourquoi lorsqu'on résout une équation de ce type, on écrit $x_0+2k\pi$, avec $k$ entier relatif, pour avoir toutes les solutions.
Par exemple pour résoudre l'équation $\cos(x)=\frac{1}{2}$, on regarde ce qui se passe sur le cercle trigonométrique donc dans $]-\pi\,;\,\pi]$, cela correspond aux points du cercle ayant pour abscisse $\frac{1}{2}$: il y a deux points du cercle donc deux nombres de l'intervalle $]-\pi\,;\,\pi]$ qui sont solutions : $x_0=-\frac{\pi}{3}$ et $x_1=\frac{\pi}{3}$ . Comme la fonction cosinus est périodique de période $2\pi$, on a alors pour tout entier k $\cos(x_0+2k\pi)=\cos(x_0)=\frac{1}{2}$ donc tous les nombres de cette forme sont solutions.
Cela nous donne les solutions sur $\mathbb{R}$.
Donc oui, les $2k\pi$ sont importants dès qu'il s'agit de résoudre dans $\mathbb{R}$.
Maintenant si l'équation est $\cos(2x)=\frac{1}{2}$, on a alors $2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi$ et $2x=\frac{\pi}{3}+2k'\pi$ ce qui donne en divisant par 2 :
$2x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$ et $x=\frac{\pi}{6}+k'\pi$ : il faut tout diviser par 2 : les solutions reviennent tous les $\pi$, $x\mapsto \cos(2x)$ étant périodique de période $\pi$.
Voilà pour les explications, dans un premier temps, attache toi à résoudre dans un intervalle d'amplitude $2\pi$, par exemple $]-\pi\,;\,\pi]$.
Bon courage

[ferdinand]

j'ai un petit soucis

pourquoi pour $2x=\frac{\pi}{4}+k\times2\pi$ au lieu de diviser $\frac{\pi}{4}+k\times2\pi$ par 2 on ne le fait mais c'est seulement le$\frac{\pi}{4}$ qu'on divise?

[sos-math(21)]

Bonjour,
On le fait partout :
Si tu divises $\frac{\pi}{4}+2k\pi$ par deux tu obtiens $\frac{\pi}{8}+k\pi$, et de même pour l'autre.
C'est ce que t'a dit sos-math(1) :

Bonjour Sophie,
Oui ici les solutions sont $x=\frac{\pi}{8}+k\pi$ et $x=-\frac{\pi}{8}+k\pi$, avec k entier relatif.
Il faut essayer de représenter les points du cercle trigonométrique d'abscisses curviligne ces nombres.
Cela donne 4 points.
Bon courage.

Bon courage