Suite, démontrer par récurence

[eleve17]

Bonjour, je n'arrive pas a comprendre comment démontrer par récurrence, pour le rang initial je comprends mais a partir du moment où il faut démontrer que la propriété est vraie au rang k+1 je n'y arrive pas... Merci de votre aide

[SoS-Math(11)]

Bonjour Juliette,

Tu dois supposer que la propriété est vraie au rang k, ensuite partant de la tu dois démontrer la formule pour le rang k+1, le plus dur est de faire apparaître (k+1) dans la propriété au rang k+1.
Pour te donner un exemple, donne moi un exercice où tu bloques, en attendant je vais regarder dans un livre un exemple type pour te l'envoyer.

A tout de suite sur le forum.

[SoS-Math(11)]

Re bonjour,

Voici un exemple :
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1}=2 u_n-1\)
Démontrer par récurrence que \(u_n=1+2^{n+1}\).

Initialisation : \(u_0=3=2^{0+1}+1\)

Hérédité : on suppose que \(u_n=1+2^{p+1}\) ;
on a par définition : \(u_{n+1}=2 u_n-1\)
en utilisant l'hypothèse de récurrence cela donne : \(u_{p+1}=2 (1+ 2^{p+1})-1=2+ 2 \times 2^{p+1} -1=1+ 2^{p+2}\).

Conclusion on a bien \(u_{p+1}=1+ 2^{(p+1)+1}\) ;
la propriété est vraie au rang \(p+1\) donc elle est toujours vraie.

Bon courage

[eleve86]

Bonjour, j'ai le même problème, mais en général. Pour un \(u_{0}\) donné, ex : \(u_{0}\)=5.
A ce stade là j'y arrive à peu-près, mais pour un \(u_{0}\) inconnu, je suis dans l'impasse. Je n'arrive pas à comprendre le cours.
Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Dorian,

Ta question est trop flou pour que je puisse t'aider.
Peux-tu me donner un exemple que tu n'arrives pas à faire ?

SoSMath.

[eleve86]

Voilà un exercice :
(Term S, maths repères, Hachette. Page 38, ex 88.)

Soit r\(\in\)R et soit \(u_{n}\) une suite arithmétique de raison r.
1. En supposant que \(u_{0}\) est son premier terme, démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout n\(\in\)N, \(u_{n}\)=\(u_{0}\)+nr.
2. Qu'est-ce que cela change si son premier terme est \(u_{1}\) ? Justifier.
3. Généraliser le résultat avec comme premier terme \(u_{p}\), p\(\in\)N.

Cet exercice à été corrigé en cours.
On sait d'après le cours de première, que \(u_{n+1}\)=\(u_{n}\)+r
Je n'arrive pas à débuter.

Merci.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Dorian,

Je pose P(n) la propriété suivante : pour tout n de IN, \(u_n=u_0+nr\)

* Tout d'abord il faut vérifier ta propriété P(n) au 1er rang, c'est-à-dire ici pour n=0.
si tu remplace n par 0 dans \(u_n=u_0+nr\), tu trouves bien \(u_0=u_0\)
Donc P(0) est vraie.

* Ensuite il faut vérifier l'hérédité de ta propriété.
On suppose que P(n) est vraie il faut montrer alors que P(n+1) est vraie.
Tu sais que \(u_{n+1}=u_n+r\) et par hypothèse de récurrence \(u_n=u_0+nr\).
Avec cela il faut que tu prouves que \(u_{n+1}=u_0+(n+1)r\) c'est-à-dire que P(n+1) est vraie !

* Alors il ne te reste plus qu'à conclure que ta propriété est vraie pour tout n de IN.

Bon courage,
SoSMath.

[eleve86]

bonjour,

Pour l'exercie de dorian je ne vois pas trop comment commencer la deuxième question avec U1 sachant que la suite est arithmétique on ne peut pas faire u1 enfin je ne sais pas comment faire. Pouvez vous m'aider s'il vous plait.

[eleve86]

Bonjours, j'ai le même exercice de Dorian à faire. Je ne vois pas coment utiliser le raisonnement par récurrence pour la question 2.
Merci, d'avance.

[eleve86]

Bonjour,

Pourriez-vous m'expliquer comment faire la deuxième question de l'exercice qu'a proposé Dorian le 15 septembre 2012.

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir,

A la deuxième question on ne demande pas une démonstration par récurrence !
On demande qu'elle sera l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) et du premier terme \(u_1\).
Vous savez que \(u_n=u_0+nr\) donc \(u_1= ...\) (à compléter!).
Il faut alors soustraire ces deux égalités .....

Et à la question 3, on veut l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) et du premier terme \(u_p\) ...

SoSMath.

[eleve86]

bonjour,

Merci de ces explications mais je ne saisis pas très bien pour trouver U1=... et soustraire mais avec quoi.

Merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonsoir,

Je ne peux pas faire l'exercice à ta place ...

si \(u_n=u_0+nr\) et \(n=0\), alors \(u_1=u_0+...\).

Ensuite je t'ai demandé de soustraire les deux égalités ....
Si a = b et c = d alors a - c = b - d (on a soustrait les deux égalités).

SoSMath.

[eleve86]

Merci beaucoup pour ces explications je viens de trouver la solution. Merci beaucoup.