calcul de limites

[Phoenicia 1èreS]

bonjour, soit (Un)= \(\frac{(-1)^{n}}{n^2+2n+3}\)

démontrer que pour tout entier n \(\geq\)1, |Un| \(\leq\) 1/n²
En déduire que (Un) est convergente et préciser sa limite.

je sais que -1\(\leq\)(-1) \(^n\)\(\leq\)1
Et donc -1/n²\(\leq\)(-1)\(^n/n^2\)\(\leq\)1/n² Est-ce que je dois continuer? Si je fais la valeur absolue, est-ce que ça va changer de sens?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Non cela ne va pas changer de sens : un nombre est toujours plus petit que sa valeur absolue donc \(A\leq\,|A|\) et cela ne change rien.
En revanche tu as intérêt à écrire d'abord que pour tout n,
\(n^2+2n+3\geq\,n^2\) car \(2n+3\geq\,0\) et en passant à l'inverse qui est une fonction décroissante sur les réels strictement positifs,
on a alors \(\frac{1}{n^2}\leq\,\frac{1}{n^2+2n+3}\)

[Phoenicia]

mais là ce n'est pas le sens |Un| \(\leq\) 1/n²?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Je ne comprend pas le sens de ta phrase : "mais là ce n'est pas le sens \(|Un| \leq \frac{1}{n^2}\) ?" (je reprend le suite des messages d'hier)

Dans ton exercice \((-1)^n\) est très petit par rapport à \(n^2+2n+3\) donc on ne s'occupe pas de son signe puisque le quotient est très proche de 0, sauf qu'il faut garder en tête que \(u_n\) est une fois sur deux positive et l'autre fois négative.
Mais de toute façon sa limite est 0.

Bonne continuation

[Phoenicia]

Il faut montrer que |Un| \(\leq\) 1/n²? or nous ont a montré que\(\frac{1}{n^2}\leq\,Un\) ?

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir

Non on a bien \(n^2\leq{n^2+2n+3}\) donc en prenant l'inverse : \(\frac{1}{n^2}\geq\frac{1}{n^2+2n+3}\) c'est à dire \(\frac{1}{n^2}\geq{|U_n|}\).
Ensuite tu sais que \(0\leq\{|U_n|}\leq{frac{1}{n^2}}\)

[SoS-Math(11)]

Ne tiens pas compte du message précédent, j'ai fait une erreur je l'ai envoyé au lieu de faire un aperçu.

Tu as \(n^2\leq{n^2+2n+3}\) donc en prenant l'inverse :\(\frac{1}{n^2}\geq\frac{1}{n^2+2n+3}\) c'est à dire\(\frac{1}{n^2}\geq{|U_n|}\).

Ensuite tu sais que \(0\leq{|U_n|}\leq{\frac{1}{n^2}}\), tu connais la limite de \(\frac{1}{n^2}\) et le théorème des gendarmes, donc tu peux conclure.

Bon courage

[Phoenicia 1èreS]

ok mais pour\(0\leq{|U_n|}\leq{\frac{1}{n^2}}\) comment savez vous qu'il faut l'encadrer avec 0?

[Phoenicia 1èreS]

ok et c'est bon si je met \(\lim_{ +\infty}{Un}\)=0 sans parenthèse à Un? Et ce n'est que valable pour quelque soit n \(\in\) N*?

[SoS-Math(11)]

C'est une valeur absolue, et une valeur absolue est toujours positive, donc elle est supérieure à 0.

[SoS-Math(11)]

La limite de \(u_n\) est bien 0, pour les termes pairs c'est 0 en étant un peu plus grand, et pour les termes impairs c'est 0 en étant un peu plus petit.

C'est bien, bonne soirée