calcul de limites

[Phoenicia 1èreS]

bonjour, soit (Un)= $\frac{(-1)^{n}}{n^2+2n+3}$

démontrer que pour tout entier n $\geq$1, |Un| $\leq$ 1/n²
En déduire que (Un) est convergente et préciser sa limite.

je sais que -1$\leq$(-1) $^n$$\leq$1
Et donc -1/n²$\leq$(-1)$^n/n^2$$\leq$1/n² Est-ce que je dois continuer? Si je fais la valeur absolue, est-ce que ça va changer de sens?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Non cela ne va pas changer de sens : un nombre est toujours plus petit que sa valeur absolue donc $A\leq\,|A|$ et cela ne change rien.
En revanche tu as intérêt à écrire d'abord que pour tout n,
$n^2+2n+3\geq\,n^2$ car $2n+3\geq\,0$ et en passant à l'inverse qui est une fonction décroissante sur les réels strictement positifs,
on a alors $\frac{1}{n^2}\leq\,\frac{1}{n^2+2n+3}$

[Phoenicia]

mais là ce n'est pas le sens |Un| $\leq$ 1/n²?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Je ne comprend pas le sens de ta phrase : "mais là ce n'est pas le sens $|Un| \leq \frac{1}{n^2}$ ?" (je reprend le suite des messages d'hier)

Dans ton exercice $(-1)^n$ est très petit par rapport à $n^2+2n+3$ donc on ne s'occupe pas de son signe puisque le quotient est très proche de 0, sauf qu'il faut garder en tête que $u_n$ est une fois sur deux positive et l'autre fois négative.
Mais de toute façon sa limite est 0.

Bonne continuation

[Phoenicia]

Il faut montrer que |Un| $\leq$ 1/n²? or nous ont a montré que$\frac{1}{n^2}\leq\,Un$ ?

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir

Non on a bien $n^2\leq{n^2+2n+3}$ donc en prenant l'inverse : $\frac{1}{n^2}\geq\frac{1}{n^2+2n+3}$ c'est à dire $\frac{1}{n^2}\geq{|U_n|}$.
Ensuite tu sais que $0\leq\{|U_n|}\leq{frac{1}{n^2}}$

[SoS-Math(11)]

Ne tiens pas compte du message précédent, j'ai fait une erreur je l'ai envoyé au lieu de faire un aperçu.

Tu as $n^2\leq{n^2+2n+3}$ donc en prenant l'inverse :$\frac{1}{n^2}\geq\frac{1}{n^2+2n+3}$ c'est à dire$\frac{1}{n^2}\geq{|U_n|}$.

Ensuite tu sais que $0\leq{|U_n|}\leq{\frac{1}{n^2}}$, tu connais la limite de $\frac{1}{n^2}$ et le théorème des gendarmes, donc tu peux conclure.

Bon courage

[Phoenicia 1èreS]

ok mais pour$0\leq{|U_n|}\leq{\frac{1}{n^2}}$ comment savez vous qu'il faut l'encadrer avec 0?

[Phoenicia 1èreS]

ok et c'est bon si je met $\lim_{ +\infty}{Un}$=0 sans parenthèse à Un? Et ce n'est que valable pour quelque soit n $\in$ N*?

[SoS-Math(11)]

C'est une valeur absolue, et une valeur absolue est toujours positive, donc elle est supérieure à 0.

[SoS-Math(11)]

La limite de $u_n$ est bien 0, pour les termes pairs c'est 0 en étant un peu plus grand, et pour les termes impairs c'est 0 en étant un peu plus petit.

C'est bien, bonne soirée