calcul de SUITE

[Phoenicia 1èreS]

Bonjour, soit (Un) définie par: Un=n-n²
démontrer que pour tout entier n\(\geq\)2, Un \(\leq\)-n
En déduire la limite de la suite.
J'ai donc choisi de factoriser Un=n(1-n)\(\leq\)-n? Est-ce la bonne voie? or lim de (1-n) est une forme indéterminée?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour montrer \(U_n\leq\,-n\), tu peux former la différence et étudier le signe de celle-ci :
\(U_n-(-n)=Un+n=2n-n^2=n(2-n)\) tu vois facilement que cette différence est négative dès que \(n\geq\,2\)
Ensuite sachant que \(\lim_{n\to\,+\infty}-n=-\infty\), tu as facilement la limite de \(U_n\).

[Phoenicia]

merci mais je n'ai pas compris le raisonnement:pourquoi Un-(-n)?

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Si \(a<b\) alors \(a-b<0\) et réciproquement, donc pour comparer deux nombres on peut faire leur différence et voir si elle est positive ou négative.
Ici tu dois comparer \(u_n\) et \({-n}\) donc tu étudies le signe de \(u_n-(-n)\).

Bonne continuation

[Phoenicia]

et là on ne peut pas utiliser la théorie des gendarmes?

[Phoenicia]

ah ok donc \(\lim_{x \to +\infty} Un\)=\({ -\infty}\) car c'est \({ -\infty}\)*\({ +\infty}\)?

[SoS-Math(11)]

Il y a deux messages qui se télescopent.

Tu as effectivement \(u_n-(-n)\) qui est négative donc \(u-n<n\) à partir d'un certain rang.

Tu peux utiliser le théorème des gendarmes car \(u_n<(-n)\) et limite de \({-n}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(-\infty\) et la limite est bien \(-\infty\).

Bonne continuation

[Phoenicia 1èreS]

ok et la \(\lim_{ n\to+\infty}2\)=2 ça compte?

[SoS-Math(11)]

Non, c'est comme si tu avais \(n\times{-n}\) car \(n\) est très grand, \(n\) tend vers plus l'infini, par exemple si \(n=1000000\) alors \(2-n=-999998\) et \(-n=-1000000\) à ce stade, on peut négliger le 2.
La limite de \(n\times{-n}\) est \(+\infty\times{-\infty}=-\infty\)
Tu peux conclure