calcul de SUITE

[Phoenicia 1èreS]

Bonjour, soit (Un) définie par: Un=n-n²
démontrer que pour tout entier n$\geq$2, Un $\leq$-n
En déduire la limite de la suite.
J'ai donc choisi de factoriser Un=n(1-n)$\leq$-n? Est-ce la bonne voie? or lim de (1-n) est une forme indéterminée?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour montrer $U_n\leq\,-n$, tu peux former la différence et étudier le signe de celle-ci :
$U_n-(-n)=Un+n=2n-n^2=n(2-n)$ tu vois facilement que cette différence est négative dès que $n\geq\,2$
Ensuite sachant que $\lim_{n\to\,+\infty}-n=-\infty$, tu as facilement la limite de $U_n$.

[Phoenicia]

merci mais je n'ai pas compris le raisonnement:pourquoi Un-(-n)?

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Si $a<b$ alors $a-b<0$ et réciproquement, donc pour comparer deux nombres on peut faire leur différence et voir si elle est positive ou négative.
Ici tu dois comparer $u_n$ et ${-n}$ donc tu étudies le signe de $u_n-(-n)$.

Bonne continuation

[Phoenicia]

et là on ne peut pas utiliser la théorie des gendarmes?

[Phoenicia]

ah ok donc $\lim_{x \to +\infty} Un$=${ -\infty}$ car c'est ${ -\infty}$*${ +\infty}$?

[SoS-Math(11)]

Il y a deux messages qui se télescopent.

Tu as effectivement $u_n-(-n)$ qui est négative donc $u-n<n$ à partir d'un certain rang.

Tu peux utiliser le théorème des gendarmes car $u_n<(-n)$ et limite de ${-n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $-\infty$ et la limite est bien $-\infty$.

Bonne continuation

[Phoenicia 1èreS]

ok et la $\lim_{ n\to+\infty}2$=2 ça compte?

[SoS-Math(11)]

Non, c'est comme si tu avais $n\times{-n}$ car $n$ est très grand, $n$ tend vers plus l'infini, par exemple si $n=1000000$ alors $2-n=-999998$ et $-n=-1000000$ à ce stade, on peut négliger le 2.
La limite de $n\times{-n}$ est $+\infty\times{-\infty}=-\infty$
Tu peux conclure