calcule de e a partir d'une somme

[SoS-Math(9)]

Elle semble correcte !

SoSMath.

[Joe]

Merci bien.
Pour la b) gamma) j'ai calculé \(I_{0}\) et je trouve : \(I_{0}\)= -e^(-1) +1
Pour déduire ce qu'il faut j'ai un peu de mal car je me demande si \(I_{n}\)=\(I_{k}\). Je pense que oui.
D'après ce qui précède on a \(I_{n}\)-\(I_{n-1}\)= (-1/n!)*e^(-1)
soit \(I_{n}\)=(-1/n!)*e^(-1) +\(I_{n-1}\)

Le problème c'est que je me pose la question quand faut-il utiliser k et quand faut -il utiliser n.

Merci d'avance et bonne soirée.
Joe

[SoS-Math(9)]

Joe,

non, je ne pense pas que \(I_n\) soit égale \(I_k\)....

Par contre, tu peux faire la somme suivante : \(\sum_{k=1}^n{}(I_k-I_{k-1})\).

SoSMath.

[Joe]

Merci bien mais je ne vois pas où cela me mène, je me trompe peut-être car je ne suis pas très habile avec le sigma des sommes.
Pouvez vous m'expliquer car j'ai bien compris que e^(-1)/k!= somme des n (\(I_{k}\)-\(I_{k-1}\)).
Bonne soirée.

[SoS-Math(9)]

Voici un peu d'aide :

\(\sum_{k=1}^n{}(I_k-I_{k-1})=(I_1-I_0)+(I_2-I_1)+...+(I_{n-1}-I_{n-2})+(I_n-I_{n-1})=I_n-I_0\).

SoSMath.

[Joe]

Merci bien j'ai tout compris. Cela semblait tout bete mais bon...
Pour la question suivante on me demande de conclure.
J'immagine qu'il faut conclure sur la limite que l'on désirait prouver au début.
Pour cela je pense qu'il faut utiliser l'encadrement prouver au b)alpha) mais je ne vois pas comment.
Auriez vous une idée?
Merci et bonne soirée
Joe.

[Joe]

Rectification je crois avoir trouvé.
On encadre avec l'inégalité du b)alpha et on trouve au final:
(e/n!) -e < somme des n (on part de k=0) 1/k! < e

Est-ce correcte d'après vous?
Merci et bonne soirée.

[Joe]

Nouvel correction: j'avais fait une erreur de signe donc au final on a:
(-e/n!)+e <somme des n(k=0) 1/k!< e
donc la limite est bien e d'après le théorèmes des gendarmes

Pensez vous cela juste?
Sinon pour la dernière question je ne comprend pas ce qu'il faut faire.
Merci d'avance pour une ultime aide.
Bonne soirée.
Joe

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je n'ai pas tout suivi de ton devoir maison, mais si tu arrives à obtenir l'inégalité que tu viens de citer, alors la conclusion est correcte (théorème des gendarmes et limite de la somme qui vaut e).

[Joe]

Bonjour,
pouvez vous m'expliquez pour la derniere question en quoi cela consiste?
Merci d'avance
Joe

[Joe]

Bonsoir,
je ne sais pas si c'est correct mais voici ce que je propose :
\([tex]\)\frac{-e}{n!}+e\leq \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\leq e\([TeX]\)
soit \([TeX]\)\frac{-e}{n!}\leq -e+ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\leq 0\([TeX]\)
soit \([TeX]\)0\leq e- \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\leq \frac{e}{n!}\([TeX]\)
Si on veut un majorant N de la différence, on prend \(\frac{e}{n!}\)
Si on veut qu'il soit inférieur à 10^(-10), on a:
\(\frac{e}{n!}\leq 10^{-10}\)
soit \(n! \geq e 10^{10}\)
On a :
e*10^(10)= 2,72* 10^(10)
14! = 8,72*10^10 et 13! = 6,23*10^9
Donc le plus petit naturel N est 14.

Cela vous semble -t-il car je ne suis absolument pas sur de moi?

[sos-math(21)]

Cela me semble pas mal...
Bon courage.

[Joe]

Bonjour,
après avoir vérifié directement à la calculatrice je trouve N=12.
Je me pose beaucoup de question sur cette derniere question.
Merci d'avance pour d'éventuelles indications.
Joe

[sos-math(21)]

Bonjour,
A partir du moment où ton encadrement est correct, la démarche que tu as suivie est juste.
Pour les calculs, je te laisse faire, il faut aussi que tu laisses du travail à ton professeur.
Bon courage

[Joe]

En effet.
Merci pour tout et bonne journée