bonsoir,
u0=1 Un+1= (Un+Vn)/2
v0=racine de 3 Vn+1=(Un+racine de 3 Vn)/(1+racine de 3)
montrer par récurrence que Un <ou= à Vn
j'ai réussi à faire l'initialisation mais je bloque à l'hérédité...
j'ai dit que puisque U0<ou=V0, Un+1<ou=Vn+1
a partir de cela j'ai remplacé Un+1 et Vn+1 par les formules de l'énoncé mais je ne sais pas si cela est bon et je ne vois pas trop comment en déduire en le résultat si c'est ce qu'il faut faire...
merci d'avance pour l'aide que vous pourriez me donner!
suite et récurrence
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nicolas
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sos-math(21)
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Re: suite et récurrence
Bonjour,
Pour l'hérédité, suppose pour un rang n quelconque que \(u_n\leq\,v_n\) et forme la différence \(u_{n+1}-v_{n+1}\) :
\(u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\frac{u_n+\sqrt{3}v_n}{1+\sqrt{3}}\) mets au même dénominateur, soustrais les deux fractions de sort d'obtenir un nombre de la forme \(\frac{A\times(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}\) où \(A\) est un nombre positif, alors la différence sera du signe de \(u_n-v_n\), lequel terme est négatif par hypothèse de récurrence.
Pour l'hérédité, suppose pour un rang n quelconque que \(u_n\leq\,v_n\) et forme la différence \(u_{n+1}-v_{n+1}\) :
\(u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\frac{u_n+\sqrt{3}v_n}{1+\sqrt{3}}\) mets au même dénominateur, soustrais les deux fractions de sort d'obtenir un nombre de la forme \(\frac{A\times(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}\) où \(A\) est un nombre positif, alors la différence sera du signe de \(u_n-v_n\), lequel terme est négatif par hypothèse de récurrence.
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Nicolas
Re: suite et récurrence
Bonjour, j'ai donc fait cette formule mais malheureusement je ne tombe pas sur la même forme. Au final jobtiens (Vn-racine de 3Vn-Un+racine de 3Un)/(2+2racine de 3) et voilà je suis bloqué...
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sos-math(21)
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Re: suite et récurrence
C'est bien parti !
Il faut juste persévérer :
\(u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\frac{u_n+\sqrt{3}v_n}{1+\sqrt{3}}=tes\,calculs=\frac{v_n-u_n+\sqrt{3}(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}=\frac{(-1)\times(u_n-v_n)+\sqrt{3}(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}\) soit en factorisant par \((u_n-v_n)\), on a : \(\frac{(\sqrt{3}-1)\times(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}\) ... et je te laisse conclure.
Il faut juste persévérer :
\(u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\frac{u_n+\sqrt{3}v_n}{1+\sqrt{3}}=tes\,calculs=\frac{v_n-u_n+\sqrt{3}(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}=\frac{(-1)\times(u_n-v_n)+\sqrt{3}(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}\) soit en factorisant par \((u_n-v_n)\), on a : \(\frac{(\sqrt{3}-1)\times(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}\) ... et je te laisse conclure.