suite et récurrence

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nicolas

suite et récurrence

Message par nicolas » mar. 1 mars 2011 23:24

bonsoir,

u0=1 Un+1= (Un+Vn)/2
v0=racine de 3 Vn+1=(Un+racine de 3 Vn)/(1+racine de 3)

montrer par récurrence que Un <ou= à Vn

j'ai réussi à faire l'initialisation mais je bloque à l'hérédité...
j'ai dit que puisque U0<ou=V0, Un+1<ou=Vn+1

a partir de cela j'ai remplacé Un+1 et Vn+1 par les formules de l'énoncé mais je ne sais pas si cela est bon et je ne vois pas trop comment en déduire en le résultat si c'est ce qu'il faut faire...

merci d'avance pour l'aide que vous pourriez me donner!
sos-math(21)
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Re: suite et récurrence

Message par sos-math(21) » mer. 2 mars 2011 10:54

Bonjour,
Pour l'hérédité, suppose pour un rang n quelconque que \(u_n\leq\,v_n\) et forme la différence \(u_{n+1}-v_{n+1}\) :
\(u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\frac{u_n+\sqrt{3}v_n}{1+\sqrt{3}}\) mets au même dénominateur, soustrais les deux fractions de sort d'obtenir un nombre de la forme \(\frac{A\times(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}\) où \(A\) est un nombre positif, alors la différence sera du signe de \(u_n-v_n\), lequel terme est négatif par hypothèse de récurrence.
Nicolas

Re: suite et récurrence

Message par Nicolas » mer. 2 mars 2011 11:29

Bonjour, j'ai donc fait cette formule mais malheureusement je ne tombe pas sur la même forme. Au final jobtiens (Vn-racine de 3Vn-Un+racine de 3Un)/(2+2racine de 3) et voilà je suis bloqué...
sos-math(21)
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Re: suite et récurrence

Message par sos-math(21) » mer. 2 mars 2011 12:29

C'est bien parti !
Il faut juste persévérer :
\(u_{n+1}-v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\frac{u_n+\sqrt{3}v_n}{1+\sqrt{3}}=tes\,calculs=\frac{v_n-u_n+\sqrt{3}(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}=\frac{(-1)\times(u_n-v_n)+\sqrt{3}(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}\) soit en factorisant par \((u_n-v_n)\), on a : \(\frac{(\sqrt{3}-1)\times(u_n-v_n)}{2(1+\sqrt{3})}\) ... et je te laisse conclure.
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