Suite

[Baptiste]

Bonsoir,
j'ai un exercice sur les suites où la tout me semble impossible, mais il doit être faisable avec un petit peu d'aide.
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0<a<b.
on définit les suites (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\)) par :
\(u_{0}\)=a et, pour tout n appartenant à N, \(u_{n+1}\)=(2\(u_{n}\)\(w_{n}\))/(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))
\(w_{0}\)=b et pour tout n de N, \(w_{n+1}\)=(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))/2

1) Vérifier que (\(u_{n}\)) et(\(w_{n}\)) sont strictement positives.
J'ai pensé à une récurrence mais par exemple pour démontrer dans l'hérédité, que \(u_{n+1}\)>0, j'ai utilisé le fait que \(u_{n}\)>0(d'après (Hn)) et je suis parti du fait que \(w_{n}\) était positive. J'ignore si c'est la bonne méthode.

2) On pose, pour tout n appartenant à N, \(t_{n}\) =\(w_{n}\) - \(u_{n}\).
Démontrer que 0 \(\leq\) \(t_{n+1}\) \(\leq\)1/2 \(t_{n}\), et en déduire à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :
pour tout n appartenant à N, on a 0\(\leq\) \(t_{n}\), \(\leq\) (b-a)/2^n
Là je ne vois absolument pas comment démontrer ne serait-ce que la première partie.

3) Démontrer que la suite (\(u_{n}\)) est croissante et (\(w_{n}\)) est décroissante.
J'ai fait \(u_{n+1}\) - \(u_{n}\) mais je trouve des résultats étranges :
(\(u_{n}\)\(w_{n}\)+\(u_{n}\)²-2\(w_{n}\)²)/(\(u_{n}\)+\(w_{n}\))
et de même pour \(w_{n+1}\)- \(w_{n}\) = (5\(u_{n}\)- \(w_{n}\))/2

4) Que peut-on en déduire pour les suites (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\))?
Là je pense que ces deux suites sont donc adjacentes car lim (en +oo) \(t_{n}\) = 0 (question 2 avec le théorème des gendarmes)
5) A l’aide de l’étude de la suite (\(u_{n}\) \(w_{n}\)), déteminer la valeur de la limite commune des suites (\(u_{n}\)) et (\(w)_{n}\).
Là je ne vois pas trop.
6) En prenant a=3 et b=5, déterminer à l’aide de (\(u_{n}\)) et (\(w_{n}\)) un encadrement d’amplitude inférieur à 10^-2 de \(\sqrt{15}\) par deux rationnels.

Merci, si vous le pouvez, de m’aider.
Bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Ce sujet a déjà été traité, voir forum de terminale sujet "suite de fibonaci"

Bon courage

[Baptiste]

Désolé mais je ne vois pas où. ce n'est pas une suite de Fibonacci

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Mille excuses, j'ai eu ce soir plusieurs messages "Suite" identiques sur la suite de Fibonaci et j'ai donc renvoyé vers le sujet traité. Le tien n'a rien à voir.

la suite \(u_n\) est la suite formée par les moyennes harmoniques (\(h=\frac{2xy}{x+y}\)) des termes précédents et la suite \(w_n\) est la suite formée par les moyennes arithmétiques (\(m=\frac{x+y}{2}\)) des termes précédents.
Calcule m-h et vérifie que \(m-h\leq{\frac{y-x}{2}}\) applique ensuite ce calcul à \(t_{n+1}\), au passage remarque que \(m\geq{h}\), d'où \(w_n\geq {u_n}\).

La question suivante se démontre par récurrence en utilisant la majoration précédente pour l'hérédité.

Pour la suite \((u_n)\) essaie \(\frac{u_n}{u_{n+1}}\) et démontre que ce quotient est supérieur à 1. Pour \(w_n\), tu as fait une erreur
\(w_{n+1}-w_{n}=\frac{u_{n}-w_{n}}{2}\) utilise la comparaison de \(u_n\) et \(w_n\) et conclus.

OK pour adjacente.

Pour \((u_{n} w_{n})\), reprend \(h\) et \(m\) et multiplie-les, tu dois trouver \(xy\). Déduis-en la réponse, puis l'encadrement de\(\sqrt{15}=\sqrt{3\times{5}}\).

Bon courage