Suite

[Baptiste]

Bonsoir,
j'ai un exercice sur les suites où la tout me semble impossible, mais il doit être faisable avec un petit peu d'aide.
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0<a<b.
on définit les suites ($u_{n}$) et ($w_{n}$) par :
$u_{0}$=a et, pour tout n appartenant à N, $u_{n+1}$=(2$u_{n}$$w_{n}$)/($u_{n}$+$w_{n}$)
$w_{0}$=b et pour tout n de N, $w_{n+1}$=($u_{n}$+$w_{n}$)/2

1) Vérifier que ($u_{n}$) et($w_{n}$) sont strictement positives.
J'ai pensé à une récurrence mais par exemple pour démontrer dans l'hérédité, que $u_{n+1}$>0, j'ai utilisé le fait que $u_{n}$>0(d'après (Hn)) et je suis parti du fait que $w_{n}$ était positive. J'ignore si c'est la bonne méthode.

2) On pose, pour tout n appartenant à N, $t_{n}$ =$w_{n}$ - $u_{n}$.
Démontrer que 0 $\leq$ $t_{n+1}$ $\leq$1/2 $t_{n}$, et en déduire à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :
pour tout n appartenant à N, on a 0$\leq$ $t_{n}$, $\leq$ (b-a)/2^n
Là je ne vois absolument pas comment démontrer ne serait-ce que la première partie.

3) Démontrer que la suite ($u_{n}$) est croissante et ($w_{n}$) est décroissante.
J'ai fait $u_{n+1}$ - $u_{n}$ mais je trouve des résultats étranges :
($u_{n}$$w_{n}$+$u_{n}$²-2$w_{n}$²)/($u_{n}$+$w_{n}$)
et de même pour $w_{n+1}$- $w_{n}$ = (5$u_{n}$- $w_{n}$)/2

4) Que peut-on en déduire pour les suites ($u_{n}$) et ($w_{n}$)?
Là je pense que ces deux suites sont donc adjacentes car lim (en +oo) $t_{n}$ = 0 (question 2 avec le théorème des gendarmes)
5) A l’aide de l’étude de la suite ($u_{n}$ $w_{n}$), déteminer la valeur de la limite commune des suites ($u_{n}$) et ($w)_{n}$.
Là je ne vois pas trop.
6) En prenant a=3 et b=5, déterminer à l’aide de ($u_{n}$) et ($w_{n}$) un encadrement d’amplitude inférieur à 10^-2 de $\sqrt{15}$ par deux rationnels.

Merci, si vous le pouvez, de m’aider.
Bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Ce sujet a déjà été traité, voir forum de terminale sujet "suite de fibonaci"

Bon courage

[Baptiste]

Désolé mais je ne vois pas où. ce n'est pas une suite de Fibonacci

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Mille excuses, j'ai eu ce soir plusieurs messages "Suite" identiques sur la suite de Fibonaci et j'ai donc renvoyé vers le sujet traité. Le tien n'a rien à voir.

la suite $u_n$ est la suite formée par les moyennes harmoniques ($h=\frac{2xy}{x+y}$) des termes précédents et la suite $w_n$ est la suite formée par les moyennes arithmétiques ($m=\frac{x+y}{2}$) des termes précédents.
Calcule m-h et vérifie que $m-h\leq{\frac{y-x}{2}}$ applique ensuite ce calcul à $t_{n+1}$, au passage remarque que $m\geq{h}$, d'où $w_n\geq {u_n}$.

La question suivante se démontre par récurrence en utilisant la majoration précédente pour l'hérédité.

Pour la suite $(u_n)$ essaie $\frac{u_n}{u_{n+1}}$ et démontre que ce quotient est supérieur à 1. Pour $w_n$, tu as fait une erreur
$w_{n+1}-w_{n}=\frac{u_{n}-w_{n}}{2}$ utilise la comparaison de $u_n$ et $w_n$ et conclus.

OK pour adjacente.

Pour $(u_{n} w_{n})$, reprend $h$ et $m$ et multiplie-les, tu dois trouver $xy$. Déduis-en la réponse, puis l'encadrement de$\sqrt{15}=\sqrt{3\times{5}}$.

Bon courage