Transformations

[Clara]

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :

[AB] est un segment de médiatrice \(\Delta\), C et D sont deux points distincts de \(\Delta\) tels que les droites (AC) et (BD) se coupent en M, les droites (BC) et (AD) se coupent en N.
a) Démontrer que les points M et N sont symétriques par rapport à \(\Delta\).
b) En déduire que les droites (NM) et (CD) sont perpendiculaires.
c) Établir l'égalité CM=CN.

J'ai fait le schéma mais je bloque déjà à la question a), j'aimerai avoir des pistes pour pourvoir avancer.
MERCI !

[SoS-Math(4)]

Bonjour Clara,

Tu vas considérer la symétrie s d'axe delta. On a :
S(A)=B
S(D)=D
De ces 2 égalités on en déduit que : S(AD)=(BD)

Tu recommences un raisonnement identique pour montrer que : S(BC)=(AC)

Puis tu utilises : le symétrique de l'intersection de deux droites est le point d'intersection des droites symétriques.

sosmaths

[Clara]

D'accord, alors : On a aussi : S(B) = A et S(C) = C, on en déduit que : S(BC) = (AC).
Donc le point d'intersection entre (AC) et (BD) se transforme dans le point d'intersection des images de (AC) et (BD) donc c'est (BC) et (AD).

[SoS-Math(2)]

C'est juste Clara
A bientôt

[Clara]

D'accord. Pour la question b) sur le schéma on voit clairement que (MN) et (CD) sont perpendiculaires.. mais je ne vois pas comment montrer cela..

Merci.

[Clara]

Je pensais à cela pour la questions b :
M et N sont symétriques par rapport à \(\Delta\)\(\Leftrightarrow\)\(\Delta\) est la médiatrice de [MN] \(\Rightarrow\) \(\Delta\) et (MN) sont perpendiculaires et comme C et D sont sur \(\Delta\) alors (MN)\(\perp\)(CD).

[SoS-Math(2)]

Bonsoir Clara,
votre raisonnement est excellent.
A bientôt

[Clara]

D'accord. Par contre pour la question c, je ne sais pas comment faire...

Merci.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Clara,
On sait maintenant que N est le symétrique de M par rapport à \(\Delta\),
donc la droite \(\Delta\) est la médiatrice du segment [MN].
On connait aussi la propriété suivante: tout point de la médiatrice d'un segment est situé à égale distance des extrémités du segment.
A bientôt.

[Clara]

D'accord, donc CM=CN (tout comme DM = DN).

[SoS-Math(1)]

Bonjour Clara,
Oui absolument.
J'ajouterai que cette propriété est vue en sixième.
A bientôt.

[Clara]

Ah...ben je l'avais complétement oublié !

Merci pour m'avoir aider !