Transformations

[Clara]

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant :

[AB] est un segment de médiatrice $\Delta$, C et D sont deux points distincts de $\Delta$ tels que les droites (AC) et (BD) se coupent en M, les droites (BC) et (AD) se coupent en N.
a) Démontrer que les points M et N sont symétriques par rapport à $\Delta$.
b) En déduire que les droites (NM) et (CD) sont perpendiculaires.
c) Établir l'égalité CM=CN.

J'ai fait le schéma mais je bloque déjà à la question a), j'aimerai avoir des pistes pour pourvoir avancer.
MERCI !

[SoS-Math(4)]

Bonjour Clara,

Tu vas considérer la symétrie s d'axe delta. On a :
S(A)=B
S(D)=D
De ces 2 égalités on en déduit que : S(AD)=(BD)

Tu recommences un raisonnement identique pour montrer que : S(BC)=(AC)

Puis tu utilises : le symétrique de l'intersection de deux droites est le point d'intersection des droites symétriques.

sosmaths

[Clara]

D'accord, alors : On a aussi : S(B) = A et S(C) = C, on en déduit que : S(BC) = (AC).
Donc le point d'intersection entre (AC) et (BD) se transforme dans le point d'intersection des images de (AC) et (BD) donc c'est (BC) et (AD).

[SoS-Math(2)]

C'est juste Clara
A bientôt

[Clara]

D'accord. Pour la question b) sur le schéma on voit clairement que (MN) et (CD) sont perpendiculaires.. mais je ne vois pas comment montrer cela..

Merci.

[Clara]

Je pensais à cela pour la questions b :
M et N sont symétriques par rapport à $\Delta$$\Leftrightarrow$$\Delta$ est la médiatrice de [MN] $\Rightarrow$ $\Delta$ et (MN) sont perpendiculaires et comme C et D sont sur $\Delta$ alors (MN)$\perp$(CD).

[SoS-Math(2)]

Bonsoir Clara,
votre raisonnement est excellent.
A bientôt

[Clara]

D'accord. Par contre pour la question c, je ne sais pas comment faire...

Merci.

[SoS-Math(1)]

Bonjour Clara,
On sait maintenant que N est le symétrique de M par rapport à $\Delta$,
donc la droite $\Delta$ est la médiatrice du segment [MN].
On connait aussi la propriété suivante: tout point de la médiatrice d'un segment est situé à égale distance des extrémités du segment.
A bientôt.

[Clara]

D'accord, donc CM=CN (tout comme DM = DN).

[SoS-Math(1)]

Bonjour Clara,
Oui absolument.
J'ajouterai que cette propriété est vue en sixième.
A bientôt.

[Clara]

Ah...ben je l'avais complétement oublié !

Merci pour m'avoir aider !