fonction exponentielle

[Solène]

Bonsoir

f(x)= \(\frac{e^{-x}}{2(1-x)}\) définie sur ]-\(\infty\);1[\(\cup\)]1;+\(\infty\)[

Je n'arrive pas à étudier la limite en -\(\infty\)

Merci de votre aide

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

\(f(x)=\frac{e^{-x}}{2(1-x)}=\frac{1}{2e^x(1-x)}\).
Tu développes le dénominateur et tu fais ainsi apparaître des limites de cours.

Bonne continuation.

[Solène]

Bonsoir

\(\lim_{x\to-\infty}1=1>0\)

\(\lim_{x\to-\infty}2e^{x}=0\)
\(\lim_{x\to-\infty}2xe^{x}=0\)

D'où \(\lim_{x\to-\infty}2e^{x}-2xe^{x}=0\)

Donc \(\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{2e^{x}-2xe^{x}}=+\infty\)

Merci beaucoup

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Pour passer de l'avant dernière ligne à la suivante , il faudrait savoir si la limite nulle est 0 par valeur supérieur à 0, ou 0 par valeur inférieure à 0.

sosmaths

[Solène]

Bonsoir

0 par valeur inférieure à 0 ?

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Tu as établi que le dénominateur tend vers 0 en \(-\infty\).

Interroge toi sur le signe de l'expression \(2e^x(1-x)\) selon les valeurs de \(x\).
Tu en déduiras le signe au voisinage de \(-\infty\).

Bon courage.

[Solène]

2e^{x}>0

1-x>0 <=>x<1

D'où le signe du dénominateur est positif en \(-\infty\)

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Tout à fait exact.

Ceci justifie complètement la limite égale à \(+\infty\) que tu as trouvée.

A bientôt sur sos-math.

[Solène]

Bonsoir

Je vous envoie l'exercice complet car je bloque sur la question 1)b) de la partie B.

A- Soit \(C_{f}\) la courbe réprésentative, dans un repère (\(O;\vec{i};\vec{j}\)), de la fonction f définie sur \(]-\infty;1[\cup]1;+\infty[\) par :
\(f(x)=\frac{e^{-x}}{2(1-x)}\)

1)a) Calculer la limite de la fonction f en chacune des bornes de son ensemble de définition.
b) En déduire les asymptotes à la courbe \(C_{f}\)

2)a) Calculer f'(x) et dresser le tableau de variation de f.
b) Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

B- On considère la famille de courbes \(C_{a}\) représentant, dans le repère (\(O;\vec{i};\vec{j}\)), les fonctions \(h_{a}\) définies sur R par :
\(h_{a}(x)= (ax+\frac{1}{2})e^{-x}\) où a est un nombre réel

1)a) Calculer \(h'_{a}(x)\)
b) Démontrer que pour tout a non nul, \(h_{a}(x)\) admet un extremum en \(x=1-\frac{1}{2a}\)

2) Etudier les variations des fonctions \(h_{a}(x)\) dans chacun des cas suivants : a= 0 ; a>0 ; a<0

3) On appelle \(S_{a}\) le point de la courbe \(C_{a}\) correspondant à l'extremum de la fonction \(h_{a}\) pour a différent de 0. Démontrer que \(S_{a}\) appartient à la courbe \(C_{f}\) de la partie A.

Merci d'avance

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Si tu bloques à la question B1b, il serait utile que nous informes sur ton résultat à la question B1a.

A bientôt.

[Solène]

Bonsoir

\(h'_a(x)=e^{-x}(a(1-x)-\frac{1}{2})\)

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Ton résultat est tout à fait bon.

Il y a extremum en tout point où la dérivée s'annule et change de signe.

Dans le cas présent, il te suffit de chercher les points d'annulation de la dérivée,
c'est-à-dire résoudre l'équation : \(h'_{\alpha}(x)=0\).

A bientôt.