fonction exponentielle

[Solène]

Bonsoir

f(x)= $\frac{e^{-x}}{2(1-x)}$ définie sur ]-$\infty$;1[$\cup$]1;+$\infty$[

Je n'arrive pas à étudier la limite en -$\infty$

Merci de votre aide

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

$f(x)=\frac{e^{-x}}{2(1-x)}=\frac{1}{2e^x(1-x)}$.
Tu développes le dénominateur et tu fais ainsi apparaître des limites de cours.

Bonne continuation.

[Solène]

Bonsoir

$\lim_{x\to-\infty}1=1>0$

$\lim_{x\to-\infty}2e^{x}=0$
$\lim_{x\to-\infty}2xe^{x}=0$

D'où $\lim_{x\to-\infty}2e^{x}-2xe^{x}=0$

Donc $\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{2e^{x}-2xe^{x}}=+\infty$

Merci beaucoup

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Pour passer de l'avant dernière ligne à la suivante , il faudrait savoir si la limite nulle est 0 par valeur supérieur à 0, ou 0 par valeur inférieure à 0.

sosmaths

[Solène]

Bonsoir

0 par valeur inférieure à 0 ?

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Tu as établi que le dénominateur tend vers 0 en $-\infty$.

Interroge toi sur le signe de l'expression $2e^x(1-x)$ selon les valeurs de $x$.
Tu en déduiras le signe au voisinage de $-\infty$.

Bon courage.

[Solène]

2e^{x}>0

1-x>0 <=>x<1

D'où le signe du dénominateur est positif en $-\infty$

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Tout à fait exact.

Ceci justifie complètement la limite égale à $+\infty$ que tu as trouvée.

A bientôt sur sos-math.

[Solène]

Bonsoir

Je vous envoie l'exercice complet car je bloque sur la question 1)b) de la partie B.

A- Soit $C_{f}$ la courbe réprésentative, dans un repère ($O;\vec{i};\vec{j}$), de la fonction f définie sur $]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$ par :
$f(x)=\frac{e^{-x}}{2(1-x)}$

1)a) Calculer la limite de la fonction f en chacune des bornes de son ensemble de définition.
b) En déduire les asymptotes à la courbe $C_{f}$

2)a) Calculer f'(x) et dresser le tableau de variation de f.
b) Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

B- On considère la famille de courbes $C_{a}$ représentant, dans le repère ($O;\vec{i};\vec{j}$), les fonctions $h_{a}$ définies sur R par :
$h_{a}(x)= (ax+\frac{1}{2})e^{-x}$ où a est un nombre réel

1)a) Calculer $h'_{a}(x)$
b) Démontrer que pour tout a non nul, $h_{a}(x)$ admet un extremum en $x=1-\frac{1}{2a}$

2) Etudier les variations des fonctions $h_{a}(x)$ dans chacun des cas suivants : a= 0 ; a>0 ; a<0

3) On appelle $S_{a}$ le point de la courbe $C_{a}$ correspondant à l'extremum de la fonction $h_{a}$ pour a différent de 0. Démontrer que $S_{a}$ appartient à la courbe $C_{f}$ de la partie A.

Merci d'avance

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Si tu bloques à la question B1b, il serait utile que nous informes sur ton résultat à la question B1a.

A bientôt.

[Solène]

Bonsoir

$h'_a(x)=e^{-x}(a(1-x)-\frac{1}{2})$

[sos-math(19)]

Bonsoir Solène,

Ton résultat est tout à fait bon.

Il y a extremum en tout point où la dérivée s'annule et change de signe.

Dans le cas présent, il te suffit de chercher les points d'annulation de la dérivée,
c'est-à-dire résoudre l'équation : $h'_{\alpha}(x)=0$.

A bientôt.