DM SUITES

[Anaïs]

Bonsoir, je vous expose mon exo et ensuites je vous dit ce qui va pas :

On considère les suites (Un) et (Vn) définies sur N par:
Uo = 3 Vo = 4
Un+1 = (Un + Vn ) / 2 Vn+1 = (Un+1 + Vn ) / 2
1) calculer U1 , V1, U2, V2 ( sa j'ai réussie mais sa me semble bizar je trouve par exemple pour V2 29/8)
2) Soit (Wn) la suite définie sur N par : Wn = Vn - Un ; montrer que la suite (Wn) est une suite géométrique de raison 1/4
( Sa c'est OK )

3) Montrer que les suites (Un) et (Vn) sont deux suites adjacentes; que peut -on en déduire ?
4) Soit (tn) la suite définie sur N par : tn = (Un + 2Vn ) / 3 ; montrer que la suite (tn) est une suite croissante
5) En déduire les limites des suites (Un) et (Vn)


je sui arrivé à la 3, pour montré qu'elles sont adjacentes, je c'est qu'il faut montrer que Un>0 , Vn<0 et que lim( Un-Vn) = 0
mais quand je calcule Un+1 - Un pour montré que Un est croissant, je trouve (Vn-Un) / 2 et pareil pour Vn je trouve
(Un + Vn ) / 4.Pouvez-vous m'aidez svp, car je ne vois pas comment à partir de celà je peut dire qu'elles sont croissante pour Un et décroissante pour Vn

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
Attention à la définition des suites adjacentes, il faut montrer que une suite est croissante, l'autre décroissante et lim(Un - Vn) = 0

vous avez étudié la suite Wn dans la question 2
C'est une suite géométrique donc vous pouvez donner son terme général de là en déduire le signe de Wn.
Or Wn = Vn - Un
donc vous en déduirez le signe de U(n+1) - U(n)

Pour V(n+1) - Vn revoyez votre calcul.
Bon courage

[Anaïs]

En remplacant Un et Vn par Uo et Vo j'ai trouvé
Un+1 - Un = (Vn - Un) /2 ==>(Vo - Un) / 2 ==> (4-3)/2 ==> 1/2
Donc Un est croisant
Vn+1 - Vn =(-Vn+Un)/4 ==> (-Vo+Uo)/4 ==> (-4+3)/4 ==> -1/4
Donc Vn est décroissante.
pour la limite, lim(Un-Vn) = lim(1/2) - (-1/4) = 0
n--> + oo n--> +oo

Est-ce que tout celà est correct ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Anaïs,

Je prend l'exercice en cours, cela me semble correct pour le sens de variation mais pas pour la limite.
Calcule Vn -Un et cherche la limite de cette différence.

Je reviens pour plus de précision dans quelques temps

Bon courage

[SoS-Math(11)]

Rebonsoir,

As-tu déterminé le signe de Wn ?
Les calculs de (Un+1- Un) et de (Vn+1 - Vn) te donnent, pour chacun, une expression en fonction de Wn et donc leur signe dépend de celui de Wn.
Pour la limite de (Vn - Un) pense que cette suite est égale à Wn et dont tu connais la limite. Conclus.

Bonne continuation

[Anaïs]

Bonsoir, pour le signe de Wn j'ai trouvé que c'était positif
mais pourquoi calculer la lim(Vn-Un) , ce qu'on cherche c'est lim (Un-Vn) ?

[sos-math(19)]

Bonsoir Anaïs,

Tu calcules l'une ou l'autre de ces deux limites, cela n'a pas d'importance.

De toutes façons, après avoir prouvé que \((U_n)\) est croissante et que \((V_n)\) est décroissante, il reste à prouver que cette limite est nulle pour montrer que les suites \((U_n)\) et \((V_n)\) sont adjacentes.

Bonne continuation.

[Anaïs]

Bonsoir, vous me disiez que pour trouver la limite de (Vn-Un) était égale à 0, on la déduisait grâce à la limite de Wn, mais on ne l'a pas. Il faut la calculer

[sos-math(19)]

Bonsoir Anaïs,

\((W_n)\) est une suite géométrique dont tu connais la raison, par conséquent, tu dois savoir calculer sa limite (voir le cours).

Bonne continuation.

[Anaïs]

à oui c'est exact, j'y avait pas penssé.
Merci beaucoup pour votre aide.

[sos-math(19)]

Bonsoir Anaïs,

A bientôt.