suites et fonctions, raisonement par récurence

[Florian]

Bonjour,
voila je bloque sur cette exercice, pourriez vous m'aider.

On considère la fonction f définie sur ]-1 ; +inf[ par f(x)=1/2 * x/(1+x)
soit a suite (Un) définie par U0=2 et Un+1=f(Un) pour tout entier naturel n

1 Demontrer que pour tout réel x>0, on a f(x)>0
En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel n on a Un>0

2 Demontrer que, pour tout x >0, on a f(x)< x/2
En déduire que, pour tout n>=1, on a Un< 1/2 * Un-1

3 Démonter, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout n appartenant a N , on a : Un <= 1/(2^n-1)

4 Déduire des questions précédentes la limite de la suite (Un)


1) j'ai simplement fait un tableau de signe, 1/2>0 1+x>0 et x>0 donc f(x)>0

Récurrence
initialisation n=0 Uo=2>0
on suppose que Un>0
comme U(n+1)=f(Un)
d'après ce qui précède f(x)>0 donc f(Un)>0 donc U(n+1)>0

etant vrai au rang 0 et hétant héréditaire pour tout n de N, Un>0

2) et c'est a partir d'ici que je bloque, je vois pas comment faire.

Merci d'avance pour votre aide.

[sos-math(13)]

Bonjour,

pour la 2, il sera simple de résoudre l'inéquation si elle revient à une étude de signe, c'est à dire à une comparaison avec 0. C'est une stratégie courante en maths.

Donc ici, tu peux chercher le signe de f(x)-x/2.

Puis un petit raisonnement par récurrence, que tu sembles maîtriser, devrait te permettre de terminer cette question.

Bon courage.

[Florian]

Alors j'ai essayé de calculer f(x)- x/2 mais j'y arrive pas, mais j'ai pensé a une méthode sans passer par le calcul, en revanche je ne sais pas si on peut faire ça.

f(x) < x/2 reviens a demontrer que f(x) - x/2 < 0 or f(x)>0 et -x/2<0 donc f(x)<x/2
Ca me parait trop simple et même un peu absurde, j'ai la désagréable impression d'une demonstration pas terminé mais quand je tente le calcul je me retrouve avec ca :
f(x)-(x/2) = [1/2(x/1+x)](x/2) = (x/4)(x/1+x)
et j'arrive pas à allez plus loin

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Florian,

Pour commencer, ton raisonnement est faux, 10>0 et (-5)<0 or 10-5=5>0

Reprenons le problème que tu as à résoudre : Démontrer que f(x)-x/2<0.
Pour cela, calcul f(x)-x/2 mais attention aux erreurs de calcul

f(x)-(x/2) = [1/2(x/1+x)]-(x/2)

Factorise cette expression, la solution t'apparaîtra simplement.

Bonne continuation

[Florian]

Voila je pense avoir trouvé,
on obtiens -x²/(2+2x) qui est inférieur a 0 donc f(x) - x/2<0 donc f(x)<x/2

[sos-math(19)]

Bonsoir Florian,

C'est bien, mais pense aussi à justifier ton affirmation selon laquelle : \(\frac{-x^2}{2+2x} < 0\).

Bonne continuation.

sos-math

[Florian]

j'ai justifié grace a un tableau de signe, -x²<0 et 2x+2>0 donc f(x)-x/2<0

Je pense que ça ira pour le reste de l'exercice, la récurence est pas trop dur.
Merci pour votre aide

[sos-math(19)]

Bonsoir Florian,

C'est bien, mais précise cependant que 2+2x est strictement positif parce que nous travaillons sur ]-1 ; +inf[.

Bonne continuation.

sos-math

[Florian]

J'ai precisé, cela apparait directement dans le tableau de signe, que je n'ai fait que sur l'intervale ]-1;+inf[

[sos-math(13)]

à bientôt sur sos-math.