Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math

Je vous en remercie beaucoup à vous également

Bonjour,
oui c'est un peu cela. En fait, on a trouvé un moyen de construire des séquences de nombres consécutif aussi grande que l'on veut et ne contenant aucun entier premier.
Cela signifie qu'on peut trouver une suite de nombres entiers consécutifs non premiers aussi grande que l'on veut.
Bonne continuation

Bonjour à vous oui j'ai pris un peu de temps à comprendre mais j'ai réussi aha et donc en conclusion on peut dire que Plus l'écart grandit moins il y a de nombres premiers consécutifs , ce sera suffisant ?

Bonjour,
tout dépend comment on compte et si on inclut les bornes ou pas :
si on a [tex]101!+1[/tex] qui est premier, on commence à [tex]101!+2[/tex] la série des non-premiers et celle-ci s'arrête à [tex]101!+101[/tex] cela fait donc [tex]101-2+1=100[/tex] nombres non premiers
mais leur écart est de 101-2=99 (de même que pour aller de 1 à 100, il y a bien 100 nombres mais leur écart est de 99) : donc on ne pourra jamais avoir 100 nombres consécutifs d'écart 100.
Si on veut 100 d'écart, il faut 101 nombres et donc il ne faut compter qu'un nombre sur deux bornes car sinon, cela fait 99 nombres distincts entre 2 nombres non comptabilisées.
Je ne sais pas si tu comprends mon raisonnement.
Donc ici, si on prend n=101, on peut écrire [tex]a=101!+1[/tex] et [tex]b=101!+101[/tex], on a bien l'écart de 100 entre \(a\) et \(b \) et tous les nombres strictement compris entre ces deux bornes, à savoir \(101!+2,\ldots,101!+100\), sont non premiers.
Je pense qu'avec cela on répond à la question (et il y en a 99)
Bonne conclusion

En effet grosse faute de ma part donc tout mon raisonnement est faux au final ? Non il faut donner deux entiers a et b avec aucun nombre premier entre eux et b-a = 1°° , donc du coup je suis un peu perdu je sais plus comment y arriver :/ meme si je prends 100!+101 - 100!+ 1 c'est faux ?

Bonjour,
[tex]n!+1[/tex] est premier mais les suivants sont [b]non premiers[/b] (de \(n!+2\) jusqu'à \(n!+n\)).
Donc un bon choix serait effectivement de choisir [tex]101!+1[/tex] et d'enchainer...
Ceci dit dans ton énoncé, il n'est pas dit que \(a\) et \(b\) doivent être premiers ?

Bonjour j'ai effectué certaines recherches avec un ami , étant donné que n!+1 < n!+2 ... <n!+n < n!n+1 et tous les nombres compris entre n!+ 1 et n! + n sont premiers , on en a déduit que a = n! + 1 et b = n! + n + 1 avec n = 100 et donc b-a = 100!+100+1 - 100!+1 = 100 vous pensez que c'est correct comme justification ou bien il manque certains détails ?
Ensuite pour la question 3 comme vous l'avez dit plus haut l'écart entre 2 nombres entiers consécutifs est aussi grand que l'on veut , ca ausssi ça suffit comme réponse pour la 3 ou c'est trop succint ?

Bonjour Matt,

tu peux prendre b = 100! + 100 et b = 100!
Cependant il y a un problème ... 100! + 1 est -il premier ou non ?
Pour les auitres nombres 100!+k (pour k allant de 2 à 100) ils ne sont pas premiers d'après la question 1.

SoSMath.

Merci et donc si je prends n = 101 ça me fait 101! + 101 = 1 x 2 x .. x 101 + 101 = 101 ( 1x2x..x101 + 1 ) ? et j'obtiens donc mon a ou b ? mais comment je dois faire pour obtenir l'autre lettre alors ?

Bonjour,
si tu choisis une valeur pour n, dans ton calcul il n'y a plus de n puisqu'il est remplacé par la valeur choisie

et donc si je prends n = 101 j'obtiens n! + 101 = 1 x 2 x 3 .. x n + 101 = 101 ( 1x2x3...xn+1 ) mais dois-je prendre une valeur finie de n! ? du genre n! = 102 ? ça me fait un nombre infini quand je le fais ma calculatrice bloque.

je vais devoir prendre n = 101 non ?

Bonjour,
je crois que tu n'as pas compris la factorisation :
pour tout entier \(p\) entre 1 et \(n\) il y a le facteur \(p\) dans \(n!\) ce qui fait que \(n!+p\) est divisible par \(p\) et on ne peut rien dire d'autre donc on a :
\(n!+2\) divisible par 2 donc non premier
\(n!+3\) divisible par 3 donc non premier
...
\(n!+n\) divisible par \(n\) donc non premier
ainsi cela te fait une suite de \(n-2+1=n-1\) entiers consécutifs non premiers donc s'il t'en faut 100 à la suite, il faut que tu prennes \(n=\ldots\)

ca paraît évident c'est vrai ! mais pour n! + n : 1 x 2 x3 x ... x 5 x n + n = n ( 1 + 2 +3 ...+ 5 + 1 ) c'est aussi valable car le n est différent de n! ?
j'ai enfin compris mais je vois pas comment ca peut m'aider à resoudre la 2 et encore moins la 3 je dois remplacer les n par certaines valeurs précises pour obtenir un écart de 100 ?