dm spé

[Matt]

Bonjour à tous voilà j'ai un dm de spé à réaliser sur un exo assez complexe
Soit n un nombre premier supérieur ou égale à 2 . On rappelle que n! = 1x2x3x...x(n-1)xn
1 ) Démontreer qu'aucun des nombres n! + 2 , n!+3 , ... , n!+n n'est premier
2 ) Donner deux entiers a et b tels que aucun des nombres situés entre eux ne soit premier et b-a = 100
3 ) Que peut-on déduire concernant l'écart entre deux nombres premiers consécutifs?

pour le moment je bloque à la question 1 et 2je sais meme pas par où commencer et je connais la reponse à la question 3 ( j'ai fait quelques recherches ) et c'est 2 , 6 30 , 210 et 2310 mais je sais pas comment le démontrer , est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plaît

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour la première question, le nombre \(n!\) contient tous les facteurs entre 1 et \(n\) donc on peut factoriser chacun des nombres cités : par exemple si on prend le nombre \(n!\)+5, le nombre \(n!\) contenant le facteur 5, on a \(n!+5=1\times 2\times 3\times 4\times \underline{5}\times \ldots\times n+\underline{5}=5\times (1\times 2\times 3\times 4 \times 6\times \ldots\times \ldots\times n+1)\)
Cela devrait te permettre de facilement trouver des nombres d'écart 100 et n'ayant aucun facteur premier entre eux.
Pour la dernière question, ce que tu as vu précédemment devrait te permettre de conclure que l'écart est aussi grand que l'on veut....

[Matt]

Bjr monsieur alors si j'ai bien compris pour n!+2 j'obtiendrai 1x2x.. x 3 x n+2 = 2 x ( 1x2x3x n+ 1 ) mais après je dois faire comment pour justifier qu'ils sont pas premier ? ca me paraît assez abstrait

[SoS-Math(9)]

Bonjour Matt,

Si n!+k = k(1*2*3*…*(k-1)*(k+1)*…*n + 1), alors n!+k est divisible par k, donc n!+k n'est pas premier (avec k>1).

SoSMath.

[Matt]

ah bah oui c'est évident ca coulait comme de l'eau de source car un nombre est premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui même et là y avait deja lui meme 1 2 3 donc c'est evident
2 ) et donc pour cette question je dois factoriser en prenant des n précis et en prenant 2 membres consécutifs de type n!+3 et n! +4 pour pouvoir y repondre ?
3) il faut que je fasse une démonstration ou bien une déduction des 2 questions précédentes et du travail de recherche que j'ai fait concernant cela ?

[Matt]

ca paraît évident c'est vrai ! mais pour n! + n : 1 x 2 x3 x ... x 5 x n + n = n ( 1 + 2 +3 ...+ 5 + 1 ) c'est aussi valable car le n est différent de n! ?
j'ai enfin compris mais je vois pas comment ca peut m'aider à resoudre la 2 et encore moins la 3 je dois remplacer les n par certaines valeurs précises pour obtenir un écart de 100 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
je crois que tu n'as pas compris la factorisation :
pour tout entier \(p\) entre 1 et \(n\) il y a le facteur \(p\) dans \(n!\) ce qui fait que \(n!+p\) est divisible par \(p\) et on ne peut rien dire d'autre donc on a :
\(n!+2\) divisible par 2 donc non premier
\(n!+3\) divisible par 3 donc non premier
...
\(n!+n\) divisible par \(n\) donc non premier
ainsi cela te fait une suite de \(n-2+1=n-1\) entiers consécutifs non premiers donc s'il t'en faut 100 à la suite, il faut que tu prennes \(n=\ldots\)

[Matt]

je vais devoir prendre n = 101 non ?

[Matt]

et donc si je prends n = 101 j'obtiens n! + 101 = 1 x 2 x 3 .. x n + 101 = 101 ( 1x2x3...xn+1 ) mais dois-je prendre une valeur finie de n! ? du genre n! = 102 ? ça me fait un nombre infini quand je le fais ma calculatrice bloque.

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
si tu choisis une valeur pour n, dans ton calcul il n'y a plus de n puisqu'il est remplacé par la valeur choisie

[Matt]

Merci et donc si je prends n = 101 ça me fait 101! + 101 = 1 x 2 x .. x 101 + 101 = 101 ( 1x2x..x101 + 1 ) ? et j'obtiens donc mon a ou b ? mais comment je dois faire pour obtenir l'autre lettre alors ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Matt,

tu peux prendre b = 100! + 100 et b = 100!
Cependant il y a un problème ... 100! + 1 est -il premier ou non ?
Pour les auitres nombres 100!+k (pour k allant de 2 à 100) ils ne sont pas premiers d'après la question 1.

SoSMath.

[Matt]

Bonjour j'ai effectué certaines recherches avec un ami , étant donné que n!+1 < n!+2 ... <n!+n < n!n+1 et tous les nombres compris entre n!+ 1 et n! + n sont premiers , on en a déduit que a = n! + 1 et b = n! + n + 1 avec n = 100 et donc b-a = 100!+100+1 - 100!+1 = 100 vous pensez que c'est correct comme justification ou bien il manque certains détails ?
Ensuite pour la question 3 comme vous l'avez dit plus haut l'écart entre 2 nombres entiers consécutifs est aussi grand que l'on veut , ca ausssi ça suffit comme réponse pour la 3 ou c'est trop succint ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
\(n!+1\) est premier mais les suivants sont non premiers (de \(n!+2\) jusqu'à \(n!+n\)).
Donc un bon choix serait effectivement de choisir \(101!+1\) et d'enchainer...
Ceci dit dans ton énoncé, il n'est pas dit que \(a\) et \(b\) doivent être premiers ?

[Matt]

En effet grosse faute de ma part donc tout mon raisonnement est faux au final ? Non il faut donner deux entiers a et b avec aucun nombre premier entre eux et b-a = 1°° , donc du coup je suis un peu perdu je sais plus comment y arriver :/ meme si je prends 100!+101 - 100!+ 1 c'est faux ?