Bonne lecture, en espérant que tu y trouves les réponses à tes questions.

bonsoir !
merci je ne l'avait pas vu

Bonsoir,
Cet exercice a été traité sur ce forum je t'invite à consulter le fil de cette discussion.

Soit [tex]n[/tex] un entier[tex]n[/tex] [tex]\geq[/tex] 1.On considère la fonction [tex]fn[/tex] définie par:
[tex]fn(x) = x + x^{2} + x^{3} + ...+ x^{n}[/tex] sur [0;1]

1) Calculer [tex]fn(0) , fn (1)[/tex] et montrer que [tex]fn[/tex][tex](\frac{1}{2} )= 1-\frac{1}{2^n}[/tex]

[color=#0000BF]ma réponse[/color]:[tex]fn(0)=0[/tex] [tex]fn(1)=n[/tex]
et [tex]fn(\frac{1}{2})[/tex]=[tex]u_{0}\times\frac{1-q^n}{1-q}[/tex]ce qui donne [tex]\frac{1}{2}\times\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}[/tex] par la suite on arrive [tex]1-\frac{1}{2^n}[/tex]


2) étudier le sens de variation de [tex]fn[/tex] et montrer que l'équation [tex]fn(x)= 1[/tex] admet une solution unique que l'on notera [tex]a_{n}[/tex]

[color=#0000BF]ma réponse:[/color] [tex]fn[/tex]est dérivable car elle est de forme [tex]x+x^{2}+ x^{3}...x^n[/tex]
[tex]f'n(n)= 1+2x+3x^{2}+...+ nx^{n-1}[/tex] par conséquant on a donc [tex]fn[/tex] croissante sur [0;1]
[tex]fn[/tex] est dérivable donc continue car [tex]fn[/tex] est dérivable
Sur l'intervalle [0;1] on a:
[tex]f(0)=0 f(1)=n[/tex]
[tex]fn[/tex] est strictement croissante dans cette intervalle donc:
[tex]a_{n}\in [0;1][/tex]
Donc d'aprés le théoréme des valeurs intermédiaire l'équation [tex]fn(x) =1[/tex]admet une seul solution dans cette intervalle

3)Démontrer que [tex]fn+1(a_{n})[/tex][tex]\geq[/tex]1
4) En déduire que la suite [tex](a_n)[/tex] est décroissante
la je suis bloqué vraiment aucune idée idem pour la 4) vu quel dépend de 3)

Je pense que tu as compris.
Je verrouille le sujet, tu dois pouvoir te débrouiller seule.
Bon courage

Oui merci beaucoup !

Bonne journée.

Bonjour,
On dit "par construction" lorsque l'objet que l'on utilise est justifié par l'énoncé.
On a défini que [tex]a_n[/tex] est l'unique solution de [tex]f_n(x)=1[/tex] donc [u] par construction[/u] : [tex]f_n(a_n)=1[/tex]
De la même manière cette "construction" est valable au rang n+1 : [tex]a_{n+1}[/tex] est l'unique solution de [tex]f_{n+1}(x)=1[/tex] donc [u] par construction[/u] : [tex]f_{n+1}(a_{n+1})=1[/tex]
Est-ce plus clair ?

Bonjour,

je reviens vers vous (je vous remercie encore de votrre aide) car je n'arrive pas à justifier le "par construction"

merci, au revoir

Tu as démontré que [tex]f_{n+1}(a_n)\geq 1[/tex]
Or on sait par construction que [tex]f_{n+1}(a_{n+1})=1[/tex] donc on a :
[tex]f_{n+1}(a_n)\geq f_{n+1}(a_{n+1})[/tex] comme [tex]f_{n+1}[/tex] est croissante, on en déduit que ...

D'accord. J'ai bien réussi du coup, par contre la dernière, je ne vois pas comment en "déduire'.

C'est un peu cela mais en plus simple, et on ne se sert pas du sens de variation :
tu as obtenu :
[tex]f_{n+1}(x)=f_n(x)+x^{n+1}[/tex] donc [tex]f_{n+1}(a_n)=f_n(a_n)+a_n^{n+1}[/tex] or [tex]f_n(a_n)=1[/tex] par définition de [tex]a_n[/tex] donc :
on a [tex]f_{n+1}(a_n)=1+a_n^{n+1}[/tex], comme [tex]a_n^{n+1}\geq 0[/tex], on a bien [tex]f_{n+1}(a_n)\geq 1[/tex]
Voilà.

Ah oui en effet pour l'erreur.
En fait on a:
[tex]S=U_0\times \frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times \frac{1-(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}[/tex]

Donc là, j'ai vraiment tout compris, c'est le principal. Merci.

Ah en fait non on me demande rien, c'est juste que d'habitude j'essaye de trouver une approximation de [tex]a_n[/tex], mais vu la fonction... Je ne peux pas la trouver dans un tableur.

Bref, pour la suite, vous m'avez dit:
[quote]fais le lien entre [tex]f_n(x)[/tex] et [tex]f_{n+1}(x)[/tex] : que rajoute t-on à [tex]f_n(x)[/tex] pour avoir [tex]f_{n+1}(x)[/tex] ?
Ensuite tu réutilises la relation qui a défini [tex]a_n[/tex].
Cela te permettra de montrer que [tex]f_{n+1}(a_n)\geq 1[/tex].
Il faudra encore se servir de cela pour prouver que [tex](a_n)[/tex] est décroissante, c'est-à-dire pour prouver que [tex]a_n\geq a_{n+1}[/tex].[/quote]

On a donc [tex]f_{n+1}(x)=f_n(x)+x^{n+1}[/tex]
Or on a [tex]f_n(a_n)=1[/tex] et comme [tex]f_n[/tex] est strictement croissante sur [tex][0;1][/tex], on a [tex]f_{n+1}(a_n)\ge 1[/tex]
Je ne sais pas si c'est ça le raisonnement, mais ça me paraît... juste.

Par contre je vois pas pour [tex]a_n[/tex] décroissante...

C'est très bien d'avoir pris la peine de reformuler avec tes mots, cela t'a permis de bien comprendre mes explications.
il y a juste une erreur dans ta somme, tu as écrit :[quote="Victor"]
Donc on veut ensuite la somme de termes pour f, qui va du rang 0 à (n-1):
[tex]S=U_0\times \frac{1-(\frac{1}{2})^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}[/tex].
[/quote]
c'est [tex]1-\frac{1}{2^n}[/tex] au numérateur, car la puissance correspond au nombre de termes : on va de 0 à n-1 donc il y a bien n termes donc [tex]\frac{1}{2^n}[/tex]
Pourquoi as-tu besoin d'une valeur approchée de [tex]a_n[/tex] ? on te le demande ? Tu sais juste que [tex]a_n\in[0\,;\,1][/tex] et cela suffit.
Bon courage

Je n'avais pas compris au début, mais je crois que le raisonnement me vient petit à petit...

Pour résumer:
On a donc: [tex]f_n(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}[/tex]
On suppose la suite [tex]U_n[/tex] définie par [tex]U_n=U_0\times \frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^n}[/tex]

Maintenant on revient à la fonction [tex]f_n[/tex]:
On a donc: [tex]f_n(\frac{1}{2})=U_0+U_1+U_2+...+U_{n-1}[/tex], car on a:
[tex]U_{n-1}=U_0\times (\frac{1}{2})^{n-1}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^n}[/tex]
Donc on veut ensuite la somme de termes pour f, qui va du rang 0 à (n-1):
[tex]S=U_0\times \frac{1-(\frac{1}{2})^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}[/tex].

Ouf ! J'ai enfin compris en essayant de vous expliquer... ^^

Voilà, je peux enfin passer à la suite. Merci beaucoup !

Pour la 2. j'ai reussi grâce au TVI (excusez-moi de l'erreur pour intermédiaire...), mais je ne vois pas comment je peux trouver une valeur approchée de [tex]a_n[/tex]

Re-bonjour,
je crois en effet que j'ai oublié un coefficient [tex]\frac{1}{2}[/tex] mais c'est que dans ma logique, on avait [tex]1-\frac{1}{2^n}[/tex]
En effet tu as à sommer :
[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}[/tex]
On peut voir les choses ainsi : si on veut faire la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison [tex]\frac{1}{2}[/tex], il faudrait partir du premier terme donc comme celui-ci vaut [tex]\frac{1}{2}[/tex], on a [tex]u_n=u_0\times \left(\frac{1}{2}\right)^n[/tex] qui donne [tex]u_0=\frac{1}{2}[/tex] de sorte que le nombre [tex]\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2^{n-1}}=u_0\times q^{n-1}=u_{n-1}[/tex] donc on fait la somme du terme de rang 0 à celui de rang n-1
Ainsi ta somme qui vaut [tex]S=\mbox{premier\,terme}\times\frac{1-q^{\mbox{nombre\,de\, termes}}}{1-q}=\frac{1}{2}\times \frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}[/tex] car comme on va du rang 0 au rang n-1, il y a n termes sommés.
Et c'est pour cela qu'on simplifie par [tex]\frac{1}{2}[/tex] qui est bien, dans ce cas, en facteur au numérateur et au dénominateur.
Est-ce plus clair ?