Fonction/Suite DM TS

[sos-math(21)]

Je pense que tu as compris.
Je verrouille le sujet, tu dois pouvoir te débrouiller seule.
Bon courage

[guillaume]

Soit \(n\) un entier\(n\) \(\geq\) 1.On considère la fonction \(fn\) définie par:
\(fn(x) = x + x^{2} + x^{3} + ...+ x^{n}\) sur [0;1]

1) Calculer \(fn(0) , fn (1)\) et montrer que \(fn\)\((\frac{1}{2} )= 1-\frac{1}{2^n}\)

ma réponse:\(fn(0)=0\) \(fn(1)=n\)
et \(fn(\frac{1}{2})\)=\(u_{0}\times\frac{1-q^n}{1-q}\)ce qui donne \(\frac{1}{2}\times\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}\) par la suite on arrive \(1-\frac{1}{2^n}\)


2) étudier le sens de variation de \(fn\) et montrer que l'équation \(fn(x)= 1\) admet une solution unique que l'on notera \(a_{n}\)

ma réponse: \(fn\)est dérivable car elle est de forme \(x+x^{2}+ x^{3}...x^n\)
\(f'n(n)= 1+2x+3x^{2}+...+ nx^{n-1}\) par conséquant on a donc \(fn\) croissante sur [0;1]
\(fn\) est dérivable donc continue car \(fn\) est dérivable
Sur l'intervalle [0;1] on a:
\(f(0)=0 f(1)=n\)
\(fn\) est strictement croissante dans cette intervalle donc:
\(a_{n}\in [0;1]\)
Donc d'aprés le théoréme des valeurs intermédiaire l'équation \(fn(x) =1\)admet une seul solution dans cette intervalle

3)Démontrer que \(fn+1(a_{n})\)\(\geq\)1
4) En déduire que la suite \((a_n)\) est décroissante
la je suis bloqué vraiment aucune idée idem pour la 4) vu quel dépend de 3)

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Cet exercice a été traité sur ce forum je t'invite à consulter le fil de cette discussion.

[guillaume]

bonsoir !
merci je ne l'avait pas vu

[sos-math(21)]

Bonne lecture, en espérant que tu y trouves les réponses à tes questions.