Bonjour à tous :)
alors voilà j'ai un DM un peu spécial, car je ne comprends pas la première question ^^ !
Voici l'énoncé:
Soit \(n\) un entier \(n\ge 1\). On considère la fonction \(f_n\) définie par:
\(f_n(x)=x+x^2+x^3+...+x^n\) sur \([O;1]\).
1. Calculer \(f_n(0)\), \(f_n(1)\) et montrer que \(f_n(\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2^n}\)
-> Je pense avoir un peu réussi: \(f_n(0)=0\), \(f_n(1)=n\)
Pour la dernière, j'ai établi ceci:
\(f_n(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+...+(\frac{1}{2})^n\)
On a donc une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et de premier terme \(\frac{1}{2}\), d'où
\(\frac{1}{2}\times (\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}})=\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^{n+1}}\)
Et là, j'ai un problème car je me retrouve avec \(n+1\) alors que je suis censé retrouvé \(n\) seulement en exposant.
Pouvez-vous m'expliquer mon erreur ?
2. Etudier le sens de variation de \(f_n\) et montrer que l'équation \(f_n(x)=1\)admet une solution unique que l'on notera \(a_n\)
-> On étudie le signe de sa dérivée (f est dérivable car c'est un polynôme). D'où \(f'_n(x)=1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}\)
Comment étudie-t-on le signe de ce genre de fonction ?
Avec cette étude, je peux faire le théorème des valeurs interdites, et avec le corollaire démontrer qu'il y a une unique solution de cette équation (j'ai la méthode, mais pas la base en fait).
Après je pense que \(a_n\) est supérieur à 1 (que l'on vérifiera à la calculatrice).
3. Démontrer que \(f_{n+1}(a_n)\ge 1\).
-> Je modifie la forme de la fonction, soit: \(f_n(a_n)=\sum \limits_{i=1}^{n} (a_n)^{i}\)
Je fais ensuite un raisonnement par récurrence:
Soit P(n) la propriété suivante: "pour tout entier naturel \(n\ge 1\), \(f_{n+1}(a_n)=\sum \limits_{i=1}^{n+1} (a_n)^{i}\ge 1\)"
Initialisation:
On a P(0) vraie, en effet on a: \(f_{0+1}(a_n)=f_{1}(a_n)=a_n\ge 1\) (bon, là, je suppose que \(a_n\ge 1\) d'après la question précédente)
Hérédité:
- Hypothèse de récurrence:
On suppose P(n) vraie pour tout entier naturel \(n\ge 1\), tel que: \(f_{n+1}(a_n)=\sum \limits_{i=1}^{n+1} (a_n)^{i}\ge 1\)
- Montrons que cette propriété est vraie au rang (n+1), c'est-à-dire:
\(f_{n+2}(a_n)=\sum \limits_{i=1}^{n+2} (a_n)^{i}\ge 1\)
On a donc:
\(\sum \limits_{i=1}^{n+2} (a_n)^{i}=\sum \limits_{i=1}^{n+1} (a_n)^{i}+a_n\)
or d'après l'hypothèse de récurrence, on a:
\(\sum \limits_{i=1}^{n+1} (a_n)^{i}\ge 1\)
\(\sum \limits_{i=1}^{n+1} (a_n)^{i}+a_n\ge 1+a_n\)
Et comme \(a_n\) est supérieur à 1, on à ainsi
\(\sum \limits_{i=1}^{n+2} (a_n)^{i}\ge 1\)
Conclusion:
Voilà, P(n) est vraie (je ne prends pas la peine de rédiger, excusez-moi...)
4. En déduire que la suite \((a_n)\) est décroissante.
-> Je n'ai pas compris...
Voilà, si vous pouviez m'aider, je vous en serais reconnaissant :).
Fonction/Suite DM TS
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Victor
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sos-math(21)
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Re: Fonction/Suite DM TS
Bonjour,
Je te cite :
\(\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\)
ta dérivée est correcte et comme \(x\in[0\,;\,1]\), elle est constituée d'une somme de nombres positifs donc elle est strictement positive, donc \(f_n\) est strictement croissante.
Ensuite c'est le théorème des valeurs intermédiaires qu'il faut utiliser (pas des valeurs interdites) et comme\(f_n(0)=0\) et \(f_n(1)=n\), 1 étant dans l'intervalle image, il a un unique antécédent \(a_n\in[0\,;\,1]\).
Voilà pour le début. Je t'enverrai un autre message pour la suite
Je te cite :
Si tu veux simplifier par \(\frac{1}{2}\), il faut que tu aies \(\frac{1}{2}\) en facteur dans tous les termes de ta fraction et à ce moment-là, ils disparaissent :\(f_n(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+...+(\frac{1}{2})^n\)
On a donc une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et de premier terme \(\frac{1}{2}\), d'où
\(\frac{1}{2}\times (\frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}})=\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^{n+1}}\)
\(\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\)
ta dérivée est correcte et comme \(x\in[0\,;\,1]\), elle est constituée d'une somme de nombres positifs donc elle est strictement positive, donc \(f_n\) est strictement croissante.
Ensuite c'est le théorème des valeurs intermédiaires qu'il faut utiliser (pas des valeurs interdites) et comme\(f_n(0)=0\) et \(f_n(1)=n\), 1 étant dans l'intervalle image, il a un unique antécédent \(a_n\in[0\,;\,1]\).
Voilà pour le début. Je t'enverrai un autre message pour la suite
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sos-math(21)
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Re: Fonction/Suite DM TS
Bonjour,
Ton hypothèse \(a_n\geq 1\) est fausse.
Donc au niveau de ta récurrence, cela ne fonctionnera pas.
Pour montrer \(f_{n+1}(a_n)\geq 1\) :
fais le lien entre \(f_n(x)\) et \(f_{n+1}(x)\) : que rajoute t-on à \(f_n(x)\) pour avoir \(f_{n+1}(x)\) ?
Ensuite tu réutilises la relation qui a défini \(a_n\).
Cela te permettra de montrer que \(f_{n+1}(a_n)\geq 1\).
Il faudra encore se servir de cela pour prouver que \((a_n)\) est décroissante, c'est-à-dire pour prouver que \(a_n\geq a_{n+1}\).
Bon courage
Ton hypothèse \(a_n\geq 1\) est fausse.
Donc au niveau de ta récurrence, cela ne fonctionnera pas.
Pour montrer \(f_{n+1}(a_n)\geq 1\) :
fais le lien entre \(f_n(x)\) et \(f_{n+1}(x)\) : que rajoute t-on à \(f_n(x)\) pour avoir \(f_{n+1}(x)\) ?
Ensuite tu réutilises la relation qui a défini \(a_n\).
Cela te permettra de montrer que \(f_{n+1}(a_n)\geq 1\).
Il faudra encore se servir de cela pour prouver que \((a_n)\) est décroissante, c'est-à-dire pour prouver que \(a_n\geq a_{n+1}\).
Bon courage
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Victor
Re: Fonction/Suite DM TS
Bonjour,
je reviens vers vous, car je ne comprends vraiment pas le \(\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\). Je ne comprends pas pourquoi on simplifie aussi ce qu'il y a ENTRE parenthèses. Je pensais que si on avait par exemple \(\frac{y\times x}{y}\) avec par exemple \(x=3a+y\), on aurait: \(\frac{y\times x}{y}=\frac{y\times (3a+y)}{y}=3a+y\), et non pas \(3a\) (c'est qu'un exemple bien entendu).
Même en développant je retrouve mon résultat (même si je sais que c'est faux du coup):
\(\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}}=2\times (\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2^n})=1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^n}\)
je reviens vers vous, car je ne comprends vraiment pas le \(\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\). Je ne comprends pas pourquoi on simplifie aussi ce qu'il y a ENTRE parenthèses. Je pensais que si on avait par exemple \(\frac{y\times x}{y}\) avec par exemple \(x=3a+y\), on aurait: \(\frac{y\times x}{y}=\frac{y\times (3a+y)}{y}=3a+y\), et non pas \(3a\) (c'est qu'un exemple bien entendu).
Même en développant je retrouve mon résultat (même si je sais que c'est faux du coup):
\(\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}}=2\times (\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2^n})=1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^n}\)
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Victor
Re: Fonction/Suite DM TS
Bonjour,
je reviens vers vous, car je ne comprends vraiment pas le \(\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\). Je ne comprends pas pourquoi on simplifie aussi ce qu'il y a ENTRE parenthèses. Je pensais que si on avait par exemple \(\frac{y\times x}{y}\) avec par exemple \(x=3a+y\), on aurait: \(\frac{y\times x}{y}=\frac{y\times (3a+y)}{y}=3a+y\), et non pas \(3a\) (c'est qu'un exemple bien entendu).
Même en développant je retrouve mon résultat (même si je sais que c'est faux du coup):
\(\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}}=2\times (\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2^n})=1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^n}\)
je reviens vers vous, car je ne comprends vraiment pas le \(\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\). Je ne comprends pas pourquoi on simplifie aussi ce qu'il y a ENTRE parenthèses. Je pensais que si on avait par exemple \(\frac{y\times x}{y}\) avec par exemple \(x=3a+y\), on aurait: \(\frac{y\times x}{y}=\frac{y\times (3a+y)}{y}=3a+y\), et non pas \(3a\) (c'est qu'un exemple bien entendu).
Même en développant je retrouve mon résultat (même si je sais que c'est faux du coup):
\(\frac{\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2^n}\times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}}=2\times (\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2^n})=1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^n}\)
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sos-math(21)
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Re: Fonction/Suite DM TS
Re-bonjour,
je crois en effet que j'ai oublié un coefficient \(\frac{1}{2}\) mais c'est que dans ma logique, on avait \(1-\frac{1}{2^n}\)
En effet tu as à sommer :
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}\)
On peut voir les choses ainsi : si on veut faire la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\), il faudrait partir du premier terme donc comme celui-ci vaut \(\frac{1}{2}\), on a \(u_n=u_0\times \left(\frac{1}{2}\right)^n\) qui donne \(u_0=\frac{1}{2}\) de sorte que le nombre \(\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2^{n-1}}=u_0\times q^{n-1}=u_{n-1}\) donc on fait la somme du terme de rang 0 à celui de rang n-1
Ainsi ta somme qui vaut \(S=\mbox{premier\,terme}\times\frac{1-q^{\mbox{nombre\,de\, termes}}}{1-q}=\frac{1}{2}\times \frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}\) car comme on va du rang 0 au rang n-1, il y a n termes sommés.
Et c'est pour cela qu'on simplifie par \(\frac{1}{2}\) qui est bien, dans ce cas, en facteur au numérateur et au dénominateur.
Est-ce plus clair ?
je crois en effet que j'ai oublié un coefficient \(\frac{1}{2}\) mais c'est que dans ma logique, on avait \(1-\frac{1}{2^n}\)
En effet tu as à sommer :
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}\)
On peut voir les choses ainsi : si on veut faire la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\), il faudrait partir du premier terme donc comme celui-ci vaut \(\frac{1}{2}\), on a \(u_n=u_0\times \left(\frac{1}{2}\right)^n\) qui donne \(u_0=\frac{1}{2}\) de sorte que le nombre \(\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2^{n-1}}=u_0\times q^{n-1}=u_{n-1}\) donc on fait la somme du terme de rang 0 à celui de rang n-1
Ainsi ta somme qui vaut \(S=\mbox{premier\,terme}\times\frac{1-q^{\mbox{nombre\,de\, termes}}}{1-q}=\frac{1}{2}\times \frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}\) car comme on va du rang 0 au rang n-1, il y a n termes sommés.
Et c'est pour cela qu'on simplifie par \(\frac{1}{2}\) qui est bien, dans ce cas, en facteur au numérateur et au dénominateur.
Est-ce plus clair ?
-
Victor
Re: Fonction/Suite DM TS
Je n'avais pas compris au début, mais je crois que le raisonnement me vient petit à petit...
Pour résumer:
On a donc: \(f_n(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}\)
On suppose la suite \(U_n\) définie par \(U_n=U_0\times \frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^n}\)
Maintenant on revient à la fonction \(f_n\):
On a donc: \(f_n(\frac{1}{2})=U_0+U_1+U_2+...+U_{n-1}\), car on a:
\(U_{n-1}=U_0\times (\frac{1}{2})^{n-1}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^n}\)
Donc on veut ensuite la somme de termes pour f, qui va du rang 0 à (n-1):
\(S=U_0\times \frac{1-(\frac{1}{2})^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\).
Ouf ! J'ai enfin compris en essayant de vous expliquer... ^^
Voilà, je peux enfin passer à la suite. Merci beaucoup !
Pour la 2. j'ai reussi grâce au TVI (excusez-moi de l'erreur pour intermédiaire...), mais je ne vois pas comment je peux trouver une valeur approchée de \(a_n\)
Pour résumer:
On a donc: \(f_n(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}\)
On suppose la suite \(U_n\) définie par \(U_n=U_0\times \frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^n}\)
Maintenant on revient à la fonction \(f_n\):
On a donc: \(f_n(\frac{1}{2})=U_0+U_1+U_2+...+U_{n-1}\), car on a:
\(U_{n-1}=U_0\times (\frac{1}{2})^{n-1}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^n}\)
Donc on veut ensuite la somme de termes pour f, qui va du rang 0 à (n-1):
\(S=U_0\times \frac{1-(\frac{1}{2})^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\).
Ouf ! J'ai enfin compris en essayant de vous expliquer... ^^
Voilà, je peux enfin passer à la suite. Merci beaucoup !
Pour la 2. j'ai reussi grâce au TVI (excusez-moi de l'erreur pour intermédiaire...), mais je ne vois pas comment je peux trouver une valeur approchée de \(a_n\)
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sos-math(21)
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Re: Fonction/Suite DM TS
C'est très bien d'avoir pris la peine de reformuler avec tes mots, cela t'a permis de bien comprendre mes explications.
il y a juste une erreur dans ta somme, tu as écrit :
Pourquoi as-tu besoin d'une valeur approchée de \(a_n\) ? on te le demande ? Tu sais juste que \(a_n\in[0\,;\,1]\) et cela suffit.
Bon courage
il y a juste une erreur dans ta somme, tu as écrit :
c'est \(1-\frac{1}{2^n}\) au numérateur, car la puissance correspond au nombre de termes : on va de 0 à n-1 donc il y a bien n termes donc \(\frac{1}{2^n}\)Victor a écrit : Donc on veut ensuite la somme de termes pour f, qui va du rang 0 à (n-1):
\(S=U_0\times \frac{1-(\frac{1}{2})^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\).
Pourquoi as-tu besoin d'une valeur approchée de \(a_n\) ? on te le demande ? Tu sais juste que \(a_n\in[0\,;\,1]\) et cela suffit.
Bon courage
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Anaëlle
Re: Fonction/Suite DM TS
Ah oui en effet pour l'erreur.
En fait on a:
\(S=U_0\times \frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times \frac{1-(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\)
Donc là, j'ai vraiment tout compris, c'est le principal. Merci.
Ah en fait non on me demande rien, c'est juste que d'habitude j'essaye de trouver une approximation de \(a_n\), mais vu la fonction... Je ne peux pas la trouver dans un tableur.
Bref, pour la suite, vous m'avez dit:
Or on a \(f_n(a_n)=1\) et comme \(f_n\) est strictement croissante sur \([0;1]\), on a \(f_{n+1}(a_n)\ge 1\)
Je ne sais pas si c'est ça le raisonnement, mais ça me paraît... juste.
Par contre je vois pas pour \(a_n\) décroissante...
En fait on a:
\(S=U_0\times \frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times \frac{1-(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2^{n-1}})}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\)
Donc là, j'ai vraiment tout compris, c'est le principal. Merci.
Ah en fait non on me demande rien, c'est juste que d'habitude j'essaye de trouver une approximation de \(a_n\), mais vu la fonction... Je ne peux pas la trouver dans un tableur.
Bref, pour la suite, vous m'avez dit:
On a donc \(f_{n+1}(x)=f_n(x)+x^{n+1}\)fais le lien entre \(f_n(x)\) et \(f_{n+1}(x)\) : que rajoute t-on à \(f_n(x)\) pour avoir \(f_{n+1}(x)\) ?
Ensuite tu réutilises la relation qui a défini \(a_n\).
Cela te permettra de montrer que \(f_{n+1}(a_n)\geq 1\).
Il faudra encore se servir de cela pour prouver que \((a_n)\) est décroissante, c'est-à-dire pour prouver que \(a_n\geq a_{n+1}\).
Or on a \(f_n(a_n)=1\) et comme \(f_n\) est strictement croissante sur \([0;1]\), on a \(f_{n+1}(a_n)\ge 1\)
Je ne sais pas si c'est ça le raisonnement, mais ça me paraît... juste.
Par contre je vois pas pour \(a_n\) décroissante...
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sos-math(21)
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Re: Fonction/Suite DM TS
C'est un peu cela mais en plus simple, et on ne se sert pas du sens de variation :
tu as obtenu :
\(f_{n+1}(x)=f_n(x)+x^{n+1}\) donc \(f_{n+1}(a_n)=f_n(a_n)+a_n^{n+1}\) or \(f_n(a_n)=1\) par définition de \(a_n\) donc :
on a \(f_{n+1}(a_n)=1+a_n^{n+1}\), comme \(a_n^{n+1}\geq 0\), on a bien \(f_{n+1}(a_n)\geq 1\)
Voilà.
tu as obtenu :
\(f_{n+1}(x)=f_n(x)+x^{n+1}\) donc \(f_{n+1}(a_n)=f_n(a_n)+a_n^{n+1}\) or \(f_n(a_n)=1\) par définition de \(a_n\) donc :
on a \(f_{n+1}(a_n)=1+a_n^{n+1}\), comme \(a_n^{n+1}\geq 0\), on a bien \(f_{n+1}(a_n)\geq 1\)
Voilà.
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Anaëlle
Re: Fonction/Suite DM TS
D'accord. J'ai bien réussi du coup, par contre la dernière, je ne vois pas comment en "déduire'.
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sos-math(21)
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Re: Fonction/Suite DM TS
Tu as démontré que \(f_{n+1}(a_n)\geq 1\)
Or on sait par construction que \(f_{n+1}(a_{n+1})=1\) donc on a :
\(f_{n+1}(a_n)\geq f_{n+1}(a_{n+1})\) comme \(f_{n+1}\) est croissante, on en déduit que ...
Or on sait par construction que \(f_{n+1}(a_{n+1})=1\) donc on a :
\(f_{n+1}(a_n)\geq f_{n+1}(a_{n+1})\) comme \(f_{n+1}\) est croissante, on en déduit que ...
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Anaëlle
Re: Fonction/Suite DM TS
Bonjour,
je reviens vers vous (je vous remercie encore de votrre aide) car je n'arrive pas à justifier le "par construction"
merci, au revoir
je reviens vers vous (je vous remercie encore de votrre aide) car je n'arrive pas à justifier le "par construction"
merci, au revoir
-
sos-math(21)
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Re: Fonction/Suite DM TS
Bonjour,
On dit "par construction" lorsque l'objet que l'on utilise est justifié par l'énoncé.
On a défini que \(a_n\) est l'unique solution de \(f_n(x)=1\) donc par construction : \(f_n(a_n)=1\)
De la même manière cette "construction" est valable au rang n+1 : \(a_{n+1}\) est l'unique solution de \(f_{n+1}(x)=1\) donc par construction : \(f_{n+1}(a_{n+1})=1\)
Est-ce plus clair ?
On dit "par construction" lorsque l'objet que l'on utilise est justifié par l'énoncé.
On a défini que \(a_n\) est l'unique solution de \(f_n(x)=1\) donc par construction : \(f_n(a_n)=1\)
De la même manière cette "construction" est valable au rang n+1 : \(a_{n+1}\) est l'unique solution de \(f_{n+1}(x)=1\) donc par construction : \(f_{n+1}(a_{n+1})=1\)
Est-ce plus clair ?
-
Anaëlle
Re: Fonction/Suite DM TS
Oui merci beaucoup !
Bonne journée.
Bonne journée.