Intégrale et exponnentielle
Intégrale et exponnentielle
Bonjour,
Je suis en train de faire un dm mais je rencontre quelques difficultées pour l'achever. Voilci l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= xe(-xcarré)
J'ai d'abord étudier sa limite en + l'infini, et j'ai trouver 0
J'ai ensuite étudier son sens de variation et j'ai trouvé qu'elle était décroissante sur ]-infini;-1/racine de 2] coissante sur [-1/racine de 2; 1/racine de 2] et décroissante sur [1/racine de 2; +[.
JE peu don en conlure que sur l'intervalle [1; +infini] la fonction est continue positive et décroissnante.
Soit (Un) la suite définie par Un = intégrale de n à n+1 de f(x) dx
J'ai interpreter géométriquement Un comme l'aie sous la courbe de f entre les droites d'quations x = n et x= n+1
Maintenant il faut que je démonter que pour n>1 on a f(n+1)<Un<f(n)
J'ai d'abord pensé à faire la récurrence, mais on a pa encore appris a clculer les intégrale, je ne peu donc pa calculer Uo
Je pense alors utilisé l'inégalité de la limite..
Je vous écris donc pour vous demander de l'aide car je n'arrive pa a terminer le raisonnement ci dessous
F est une fonction continue sur l'intervalle [1; +infini[
Soit n et n+1 deux réels tels que pour tout n appartenant a [0; +infini] on a : n<f(x)<n+1
n<n+1
f est continue sur [0; +infini] de même que x->n et x-> n+1
Mais je n'arrive pas a terminer et je ne sais pas si je suis bien partie
Merci d'avance pour votre aide
Susie
Je suis en train de faire un dm mais je rencontre quelques difficultées pour l'achever. Voilci l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= xe(-xcarré)
J'ai d'abord étudier sa limite en + l'infini, et j'ai trouver 0
J'ai ensuite étudier son sens de variation et j'ai trouvé qu'elle était décroissante sur ]-infini;-1/racine de 2] coissante sur [-1/racine de 2; 1/racine de 2] et décroissante sur [1/racine de 2; +[.
JE peu don en conlure que sur l'intervalle [1; +infini] la fonction est continue positive et décroissnante.
Soit (Un) la suite définie par Un = intégrale de n à n+1 de f(x) dx
J'ai interpreter géométriquement Un comme l'aie sous la courbe de f entre les droites d'quations x = n et x= n+1
Maintenant il faut que je démonter que pour n>1 on a f(n+1)<Un<f(n)
J'ai d'abord pensé à faire la récurrence, mais on a pa encore appris a clculer les intégrale, je ne peu donc pa calculer Uo
Je pense alors utilisé l'inégalité de la limite..
Je vous écris donc pour vous demander de l'aide car je n'arrive pa a terminer le raisonnement ci dessous
F est une fonction continue sur l'intervalle [1; +infini[
Soit n et n+1 deux réels tels que pour tout n appartenant a [0; +infini] on a : n<f(x)<n+1
n<n+1
f est continue sur [0; +infini] de même que x->n et x-> n+1
Mais je n'arrive pas a terminer et je ne sais pas si je suis bien partie
Merci d'avance pour votre aide
Susie
-
- Messages : 2724
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
bonjour,
Les limites ne sont pas utiles ici.
Plutôt , il faut utiliser le théorème suivant qui doit être ds le cours:
Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I, a et b deux reéls tels que a<b .
Si f <= g sur I, alors :
\(\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx\)
Tu utilises ce théorème, et le fait que la fonction f est décroissante sur [1, inf[
N'oublie pas que f(n+1) est une constante et f(n) aussi dans ta démonstration , et que donc ces nombres peuvent être considérés comme les images de réels par des fonctions constantes.
Bon courage
sosmaths[/i]
Les limites ne sont pas utiles ici.
Plutôt , il faut utiliser le théorème suivant qui doit être ds le cours:
Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I, a et b deux reéls tels que a<b .
Si f <= g sur I, alors :
\(\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx\)
Tu utilises ce théorème, et le fait que la fonction f est décroissante sur [1, inf[
N'oublie pas que f(n+1) est une constante et f(n) aussi dans ta démonstration , et que donc ces nombres peuvent être considérés comme les images de réels par des fonctions constantes.
Bon courage
sosmaths[/i]
Intérale et exponentielle
Bonjour,
Mais si f(n) et f(n+1) sont des contstantes alors que sont les fonctions f(x) et g(x) ?
Merci d'avance
Mais si f(n) et f(n+1) sont des contstantes alors que sont les fonctions f(x) et g(x) ?
Merci d'avance
-
- Messages : 2724
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Intérale et exponentielle
Bonsoir,
D'accord ensuite je di que pour tout x appartenant à [n , n+1] on a : f(n+) <= f(x) puisque f est décroissante donc :
Intégrale de n à n+1 de f(n)dx= f(n+1)(n+1-n) = f(n+1)<= intégrale de n à n+1 de f(x)
donc f(n+1)<=f(x)<= f(n)
donc f(n+1)<=Un<=f(n)
Ca suffit comme explications ?
Merci encore pour votre aide
D'accord ensuite je di que pour tout x appartenant à [n , n+1] on a : f(n+) <= f(x) puisque f est décroissante donc :
Intégrale de n à n+1 de f(n)dx= f(n+1)(n+1-n) = f(n+1)<= intégrale de n à n+1 de f(x)
donc f(n+1)<=f(x)<= f(n)
donc f(n+1)<=Un<=f(n)
Ca suffit comme explications ?
Merci encore pour votre aide
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- Messages : 2724
- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Intégrale et exponnentielle
Bonsoir,
Juste une dernière question pour êre bien sur que je comprend ce que je fais...
On peut passer de intégrale de n à n+1 de f(n)dx= f(n+1)(n+1-n) = f(n+1)<= intégrale de n à n+1 de f(x)
à f(n+1)<=f(x)<= f(n) a cause du théorème sur la conservation de l'ordre ?
Et comment peut on affirmer que f(n+) <= f(x) ?
Merci beaucoup
Juste une dernière question pour êre bien sur que je comprend ce que je fais...
On peut passer de intégrale de n à n+1 de f(n)dx= f(n+1)(n+1-n) = f(n+1)<= intégrale de n à n+1 de f(x)
à f(n+1)<=f(x)<= f(n) a cause du théorème sur la conservation de l'ordre ?
Et comment peut on affirmer que f(n+) <= f(x) ?
Merci beaucoup