Intégrale et exponnentielle

[Invité]

Bonjour,

Je suis en train de faire un dm mais je rencontre quelques difficultées pour l'achever. Voilci l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= xe(-xcarré)
J'ai d'abord étudier sa limite en + l'infini, et j'ai trouver 0
J'ai ensuite étudier son sens de variation et j'ai trouvé qu'elle était décroissante sur ]-infini;-1/racine de 2] coissante sur [-1/racine de 2; 1/racine de 2] et décroissante sur [1/racine de 2; +[.
JE peu don en conlure que sur l'intervalle [1; +infini] la fonction est continue positive et décroissnante.
Soit (Un) la suite définie par Un = intégrale de n à n+1 de f(x) dx
J'ai interpreter géométriquement Un comme l'aie sous la courbe de f entre les droites d'quations x = n et x= n+1

Maintenant il faut que je démonter que pour n>1 on a f(n+1)<Un<f(n)
J'ai d'abord pensé à faire la récurrence, mais on a pa encore appris a clculer les intégrale, je ne peu donc pa calculer Uo
Je pense alors utilisé l'inégalité de la limite..
Je vous écris donc pour vous demander de l'aide car je n'arrive pa a terminer le raisonnement ci dessous
F est une fonction continue sur l'intervalle [1; +infini[
Soit n et n+1 deux réels tels que pour tout n appartenant a [0; +infini] on a : n<f(x)<n+1
n<n+1
f est continue sur [0; +infini] de même que x->n et x-> n+1

Mais je n'arrive pas a terminer et je ne sais pas si je suis bien partie


Merci d'avance pour votre aide

Susie

[SoS-Math(4)]

bonjour,

Les limites ne sont pas utiles ici.

Plutôt , il faut utiliser le théorème suivant qui doit être ds le cours:
Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I, a et b deux reéls tels que a<b .
Si f <= g sur I, alors :

\(\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx\)

Tu utilises ce théorème, et le fait que la fonction f est décroissante sur [1, inf[

N'oublie pas que f(n+1) est une constante et f(n) aussi dans ta démonstration , et que donc ces nombres peuvent être considérés comme les images de réels par des fonctions constantes.



Bon courage

sosmaths[/i]

[Invité]

Bonjour,

Mais si f(n) et f(n+1) sont des contstantes alors que sont les fonctions f(x) et g(x) ?

Merci d'avance

[SoS-Math(4)]

bonsoir

je commence le raisonnement :

Pour tout x appartenant à [n , n+1] on a : f(x) <= f(n) puisque f est décroissante donc :
\(\int_{n}^{n+1}f(x)dx\leq \int_{n}^{n+1}f(n)dx= f(n)(n+1-n)=f(n)\)

Essayer de continuer, pour montrer l'autre inégalité.

sosmaths

[Invité]

Bonsoir,
D'accord ensuite je di que pour tout x appartenant à [n , n+1] on a : f(n+) <= f(x) puisque f est décroissante donc :
Intégrale de n à n+1 de f(n)dx= f(n+1)(n+1-n) = f(n+1)<= intégrale de n à n+1 de f(x)
donc f(n+1)<=f(x)<= f(n)
donc f(n+1)<=Un<=f(n)

Ca suffit comme explications ?

Merci encore pour votre aide

[SoS-Math(4)]

oui c'est ça.

sosmaths

[Invité]

Bonsoir,

Juste une dernière question pour êre bien sur que je comprend ce que je fais...
On peut passer de intégrale de n à n+1 de f(n)dx= f(n+1)(n+1-n) = f(n+1)<= intégrale de n à n+1 de f(x)
à f(n+1)<=f(x)<= f(n) a cause du théorème sur la conservation de l'ordre ?
Et comment peut on affirmer que f(n+) <= f(x) ?

Merci beaucoup