symétrie par rapport à la première bissectrice
symétrie par rapport à la première bissectrice
Bonjour SOS math
Soient M(-1;1) N (2;2) et P (5,5;5,5)
Tracer la droite pour laquelle les points ont l'ordonnée égale à l'abscisse
Soient A ( 3;2) et B (2;3)
Qu'observe t on ?
Soient C ( -1;4) et D ( 4;-1)
Que peut on conjecturer ?
L'objectif est démontrer que si deux points \(A (x_{A};y_{A})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) sont symétriques par rapport à la bissectrice alors leurs coordonnées sont
inversées
\(x_{B} = y_{A}\)
et
\(y_{B} = x_{A}\)
Soient M(-1;1) N (2;2) et P (5,5;5,5)
Tracer la droite pour laquelle les points ont l'ordonnée égale à l'abscisse
Soient A ( 3;2) et B (2;3)
Qu'observe t on ?
Soient C ( -1;4) et D ( 4;-1)
Que peut on conjecturer ?
L'objectif est démontrer que si deux points \(A (x_{A};y_{A})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) sont symétriques par rapport à la bissectrice alors leurs coordonnées sont
inversées
\(x_{B} = y_{A}\)
et
\(y_{B} = x_{A}\)
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Bonjour Nico,
ES-tu sur des coordonnées de M, n'as tu pas oublié un signe à l'ordonnée de M ?
L'abscisse de N est 2 sont ordonnées aussi donc N est un point de la droite a tracé. De même pour P. Il suffit donc de tracer la droite passant par ces deux points. Cette droite est la bissectrice des axes.
Ensuite places les points A et B sur le même graphique. Que remarques-tu ? Une "symétrie"?
ES-tu sur des coordonnées de M, n'as tu pas oublié un signe à l'ordonnée de M ?
L'abscisse de N est 2 sont ordonnées aussi donc N est un point de la droite a tracé. De même pour P. Il suffit donc de tracer la droite passant par ces deux points. Cette droite est la bissectrice des axes.
Ensuite places les points A et B sur le même graphique. Que remarques-tu ? Une "symétrie"?
Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Bonjour et merci
Effectivement les coordonnées du point M sont (-1;-1)le point N a pour coordonnées ( 2;2) le point P a pour coordonnées ( 5,5;5,5)
J'ai tracé la droite passant par ces points
Puis j'ai placé le point À de coordonnées ( 2;3) et le point B de coordonnées (3;2)
On remarque les points À et B se font face
Effectivement les coordonnées du point M sont (-1;-1)le point N a pour coordonnées ( 2;2) le point P a pour coordonnées ( 5,5;5,5)
J'ai tracé la droite passant par ces points
Puis j'ai placé le point À de coordonnées ( 2;3) et le point B de coordonnées (3;2)
On remarque les points À et B se font face
Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
En calculant le milieu de AB => je peux trouver le point de symétrie
Je démontre la symétrie par rapport à un point, et on me parle d'une symétrie par rapport à une droite
Il faut donc démontrer que le segment AB est perpendiculaire à la droite
Rien ne prouve que les droites sont perpendiculaires
Je démontre la symétrie par rapport à un point, et on me parle d'une symétrie par rapport à une droite
Il faut donc démontrer que le segment AB est perpendiculaire à la droite
Rien ne prouve que les droites sont perpendiculaires
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Bonjour Nico0,
Il te faut peut être montrer que OAB est isocèle en O en calculant OA et OB et utiliser un résultat de géométrie vu au collège qui dit que la droite qui passe par le sommet principal et le milieu de la base dans un triangle isocèle est la médiatrice de la base donc perpendiculaire.
Il te faut peut être montrer que OAB est isocèle en O en calculant OA et OB et utiliser un résultat de géométrie vu au collège qui dit que la droite qui passe par le sommet principal et le milieu de la base dans un triangle isocèle est la médiatrice de la base donc perpendiculaire.
Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Bonsoir SOS MAth
Je calcule la distance OA
\(OA =\sqrt{(x_{A}-x_{O})^{2}(y_{A}-y_{O})^{2}}\)
les coordonnées du point O sont \(x_{0}=0;y_{0}=0\)
les coordonnées du point A sont \(x_{A}=2;y_{A}=3\)
\(OA=\sqrt{(2 -0)^{2}(3-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}= \sqrt{4 +9}=6\)
--------------------------------------
distance de OB
\(OB=\sqrt{(x_{B}-x_{O})^{2}(y_{B}-y_{B})^{2}}\)
le point B a pour coordonnées \(x_{B}= 3;y_{B}=2\)
\(OB=\sqrt{(3 -0)^{2}(0-2)^{2}}= \sqrt{3^{2}+2^{2}}=6\)
deux cotés sont égaux donc OAB est isocèle en 0
est ce suffisant pour démontrer que OAB est isocèle ?
Je calcule la distance OA
\(OA =\sqrt{(x_{A}-x_{O})^{2}(y_{A}-y_{O})^{2}}\)
les coordonnées du point O sont \(x_{0}=0;y_{0}=0\)
les coordonnées du point A sont \(x_{A}=2;y_{A}=3\)
\(OA=\sqrt{(2 -0)^{2}(3-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}= \sqrt{4 +9}=6\)
--------------------------------------
distance de OB
\(OB=\sqrt{(x_{B}-x_{O})^{2}(y_{B}-y_{B})^{2}}\)
le point B a pour coordonnées \(x_{B}= 3;y_{B}=2\)
\(OB=\sqrt{(3 -0)^{2}(0-2)^{2}}= \sqrt{3^{2}+2^{2}}=6\)
deux cotés sont égaux donc OAB est isocèle en 0
est ce suffisant pour démontrer que OAB est isocèle ?
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Bonjour,
Effectivement si OA = OB, tu as bien montré que le triangle OAB est isocèle en O.
SoSMath
Effectivement si OA = OB, tu as bien montré que le triangle OAB est isocèle en O.
SoSMath
Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Ok
Le milieu de [AB] a pour coordonnées (2,5;2,5) il est donc sur la droite
la droite qui passe par le sommet du triangle et par le milieu de la base ( segment [AB] ) est la médiatrice de cette base donc perpendiculaire
---> donc je peux passer à la démonstration d'une symétrie axiale
Puisque l'on me demande de démontrer que si deux points \(A(x_{A};y_{B})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) sont symétriques par rapport à la bissectrice des axes alors leurs coordonnées sont inversées
\(x_{B}=y_{A}\)
et
\(x_{A}=y_{B}\)
Le milieu de [AB] a pour coordonnées (2,5;2,5) il est donc sur la droite
la droite qui passe par le sommet du triangle et par le milieu de la base ( segment [AB] ) est la médiatrice de cette base donc perpendiculaire
---> donc je peux passer à la démonstration d'une symétrie axiale
Puisque l'on me demande de démontrer que si deux points \(A(x_{A};y_{B})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) sont symétriques par rapport à la bissectrice des axes alors leurs coordonnées sont inversées
\(x_{B}=y_{A}\)
et
\(x_{A}=y_{B}\)
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Bonjour,
Il y a une petite erreur dans tes calculs mais la conclusion reste la même :
Bon courage courage pour la suite
Il y a une petite erreur dans tes calculs mais la conclusion reste la même :
\(OA=\sqrt{(2 -0)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}= \sqrt{4 +9}\neq 6\)nico0 a écrit :
\(OA=\sqrt{(2 -0)^{2}(3-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}= \sqrt{4 +9}=6\)
Bon courage courage pour la suite
Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Ok
donc pour prouver que OAB est isocèle, je calcule la distance OA
\(OA = \sqrt{(x_{A}-x_{0})^{2}(y_{A}-y_{0})^{2}}\)
comme le point O a pour coordonnées \(x_{0};y_{0}=0\)
alors \(OA=\sqrt{(2 - 0)^{2}(3-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}= \sqrt{13}\)
\(OB=\sqrt{(x_{B}-x_{O})^{2}(y_{B}-y_{O})^{2}}\)
\(OB =\sqrt{(3-0)^{2}(2-0)^{2}}=\sqrt{13}\)
-----------------------------
A et B sont symétriques par rapport à la droite
soit H le milieu de [AB] et comme H est sur la droite alors le point H a une abscisse égale à l'ordonnée
il faut démontrer que \(x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}\)
donc pour prouver que OAB est isocèle, je calcule la distance OA
\(OA = \sqrt{(x_{A}-x_{0})^{2}(y_{A}-y_{0})^{2}}\)
comme le point O a pour coordonnées \(x_{0};y_{0}=0\)
alors \(OA=\sqrt{(2 - 0)^{2}(3-0)^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}= \sqrt{13}\)
\(OB=\sqrt{(x_{B}-x_{O})^{2}(y_{B}-y_{O})^{2}}\)
\(OB =\sqrt{(3-0)^{2}(2-0)^{2}}=\sqrt{13}\)
-----------------------------
A et B sont symétriques par rapport à la droite
soit H le milieu de [AB] et comme H est sur la droite alors le point H a une abscisse égale à l'ordonnée
il faut démontrer que \(x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}\)
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Pour cela, il faut utiliser la formule du milieu entre A et B.
A bientôt
A bientôt
Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
merci de me répondre aussi vite !!
\(x_{H}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}=2,5\)
et \(y_{H}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}=2,5\)
comme \(x_{H}=y_{H}\)
est ce que je peux écrire \(\frac{2+3}{2}=\frac{2+3}{2}\)
\(x_{H}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}=2,5\)
et \(y_{H}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}=2,5\)
comme \(x_{H}=y_{H}\)
est ce que je peux écrire \(\frac{2+3}{2}=\frac{2+3}{2}\)
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Je crois que tu dois démontrer que :
A bientôt
Il te faut donc partir de \(A (x_{A};y_{A})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) avec A et B symétriques par rapport à la bissectrice.nico0 a écrit :
L'objectif est démontrer que si deux points \(A (x_{A};y_{A})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) sont symétriques par rapport à la bissectrice alors leurs coordonnées sont
inversées
\(x_{B} = y_{A}\)
et
\(y_{B} = x_{A}\)
A bientôt
Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
Il faut d'abord prouver que \(x_{A}+x_{B}=y_{B}+y_{B}\)
ensuite
il faut prouver que \(x_{A}^{2}-x_{B}^{2}=y_{B}^{2}-y_{A}^{2}\)
en utilisant les deux relations obtenues, démontrer que \(x_{A}=y_{B}\)et \(x_{B}=y_{A}\)
-----------
pour prouver que \(x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}\)
j'ai calculé le milieu H de [AB] \(x_{H}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}\)
et \(y_{H}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{3+2}{2}\)
comme \(x_{H}=y_{H}\) alors \(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\)
ensuite
il faut prouver que \(x_{A}^{2}-x_{B}^{2}=y_{B}^{2}-y_{A}^{2}\)
en utilisant les deux relations obtenues, démontrer que \(x_{A}=y_{B}\)et \(x_{B}=y_{A}\)
-----------
pour prouver que \(x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}\)
j'ai calculé le milieu H de [AB] \(x_{H}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}\)
et \(y_{H}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{3+2}{2}\)
comme \(x_{H}=y_{H}\) alors \(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\)
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Re: symétrie par rapport à la première bissectrice
C'est l'idée mais tu ne peux plus utiliser A(2;3) et B(3;2)...
Il te faut donc partir de \(A (x_{A};y_{A})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) avec A et B symétriques par rapport à la bissectrice :
Si A et B sont symétriques par rapport à la première bissectrice alors le milieu de [AB] a pour coordonnées :
A bientôt !
Il te faut donc partir de \(A (x_{A};y_{A})\) et \(B(x_{B};y_{B})\) avec A et B symétriques par rapport à la bissectrice :
Si A et B sont symétriques par rapport à la première bissectrice alors le milieu de [AB] a pour coordonnées :
Pour la suite, il faut regarder les distances OA et OB...nico0 a écrit :
j'ai calculé le milieu H de [AB] \(x_{H}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\)
et \(y_{H}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\)
comme \(x_{H}=y_{H}\) alors \(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\)
A bientôt !