Exercice exponentielle

[Ivana]

Bonjour je dois faire un exercice sur exponentielle pour lundi mais je ne suis pas sure de ma dérivée pour la première question.. Pouvez vous verdier si elle est correcte et m'aider pour les prochaines questions?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ivana,

Où est ta dérivée ? ... rappel : \((e^u)'=u'e^u\)

SoSMath.

[Ivana]

Oups j'ai oublié de la noter
J'obtiens ceci

[SoS-Math(9)]

Ivana,

Tu as oublié un signe "-" ... \(f'(x)=-1\times e^{-2x}+(-x)\times (-2e^{-2x})+1=...\).

Question 2a : f'(x) > 1 <=> \(e^{-2x}(-1+2x) > 0\)
Que sais-tu du signe de \(e^{-2x}\) ?

Question 2b : pour avoir les varaiations de f '(x), il faut dériver f ' ...

SoSMath.

[Ivana]

2)a) comme exp(-2)>0 et comme 1+2x>0 alors pour tout réel x, exp(-2)*(1+2x)>0
2)B) pour f''(x) je trouve :
f''(x) = exp(-2x) + 2xexp(-2x)

[SoS-Math(9)]

Ivana,

Oui, pour tout réel x, exp(-2x) > 0
mais c'est faux pour 2x-1 ....
f'(x) > 1 <=> \(e^{−2x}(−1+2x)>0\) <=> -1+2x > 0 <=> x > 1/2 !

Ta dérivée f '' est fausse ... peux-tu me donner le détail de ton calcul de f '' ?

SoSMath.

[Ivana]

Ah oui d'accord j'ai compris pour la 2)a)!
J'ai fait ça pour la 2)b)

[SoS-Math(9)]

Ivana,

je ne comprends pas ton calcul ...
\(f'(x)=(2x-1)e^{-2x}+1\)
donc
\(f''(x)=2\times e^{-2x}+(2x-1) \times (-2e^{-2x}) + 0 = ....\)

SoSMath.

[Ivana]

D'accord je vais reprendre mon calcul pour la 2)b)
Pour la 3) f'(0)=0 et je fais un tableau de variation non ?

[SoS-Math(9)]

Oui Ivana, il faut faire le tableau de variations de f '.
Et avec f '(0) = 0, tu vas pouvoir trouver le signe de f '(x) ....

SoSMath.

[Ivana]

Je n'ai pas du tout compris votre calcul pour la 2)B) on doit utiliser une identité remarquable ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ivana,

Pour le 2b) j'ai dérivée la fonction f ' ...
J'ai utilisé les formules de dérivation de (uv)'=u'v+uv', (u+v)' et (e^u)'.

SoSMath.

[Ivana]

Ah oui d'accord j'ai compris le calcul ! Je trouve f''(x) =
-4xexp(-2x) à la fin

[SoS-Math(9)]

Non Ivana !

tu as commis une erreur de signe ... tu dois trouver f''(x) = (4-4x)exp(-2x).
Alors le signe de f'' est celui de 4-4x ...
Tu vas alors pouvoir en déduire les variations de f ' .... puis son signe ...

SoSMath.

[Ivana]

D'accord jai revu mon calcul et j'ai compris! Je ne vois pas comment avec f'(0) on en déduit le signe de f'(x) on le savait déjà grâce à f''(x) non ?