Devoir maison exponentielle

[Zog-Zog]

J'ai un devoir maison, j'ai réussi la première partie (partie A) qui était la plus compliquée d'après mes collègues, pourtant je n'arrive pas la partie B :

ex étant exp(x).

1. Soit φ la fonction définie sur R par φ(x)= ex-(1+x). Montrer que φ est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.

2. En déduire que pour tout réél x, 1+x≤ex

3. Déduire de l'égalité précédente que ∀x,ex≤1/1-x

4. Déduire de l'égalité du B.2. que Un≤e

5. Déduire de l'égalité du B.4. que e≤(1+1/n)^n+1
On pose Vn=(1+1/n)^n+1 pour n∈N*. On a donc Un≤e≤Vn pour n∈N*.

6. Démontrer que Vn-Un≤3/n

7. En déduire que 0≤e-Un≤3/n, puis que Un converge vers e.

8.Démontrer que Vn converge également vers n

9.Donner un encadrement de e en calculant Un et Vn pour n=10; n=100; n=1000

[sos-math(21)]

Bonjour,
Commence par dériver la fonction \(\varphi\), étudie son signe sur l'intervalle considéré et déduis-en le sens de variation.
En utilisant le fait que \(\varphi(0)=0\),
Alors pour tout x<0, la fonction étant décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), on a \(\varphi(x)\geq \varphi(0)\).
On refait le même raisonnement sur les réels positifs et on obtiendra le fait que \(\varphi(x)\geq 0\) ce qui te permettra de conclure pour la 2.
La question 3 se fait en remplaçant \(x\) par \({-x}\) dans l'inégalité.
Commence par faire cela.

[Invité]

Bonjour,
Commence par dériver la fonction \(\varphi\), étudie son signe sur l'intervalle considéré et déduis-en le sens de variation.
En utilisant le fait que \(\varphi(0)=0\),
Alors pour tout x<0, la fonction étant décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), on a \(\varphi(x)\geq \varphi(0)\).
On refait le même raisonnement sur les réels positifs et on obtiendra le fait que \(\varphi(x)\geq 0\) ce qui te permettra de conclure pour la 2.
La question 3 se fait en remplaçant \(x\) par \({-x}\) dans l'inégalité.
Commence par faire cela.

La dérivé serait ex-1, ensuite je fais un tableau de signe, j'ai bon ?

[sos-math(21)]

C'est cela,
Il te faut résoudre \(\varphi'(x)=0\), soit \(e^x-1=0\)...
Bon courage