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[Invité]

Bonjour,
Je suis en terminal S, je n'arrive pas à débuter une démonstration. Voici les questions de l'exo :
1) Soit a un réel strictement positif.
Démontrer que pour tt entier naturel, (1+a)^n \(\geq\) 1+na
2) En déduire que pour q>1 , \(\lim_{n\to+\infty}n q^{n}\) = +\(\infty\)

Pour la une, je pense qu'il faut partir de : a>0 puis a+1>1 mais après je ne vois pas comment aboutir à l'inéquation.
Pour la 2, comme q>1 et comme (1+a)^n \(\geq\) 1+na alors \(\lim_{n\to+\infty}n q^{n}\) = +\(\infty\)

Merci d'avance[/url][/list]

[SoS-Math(9)]

Bonjour,

Tout d'abord un petit rappel :"Merci de bien vouloir signer votre message par votre prénom."

Pour la question 1), un raisonnement par récurrence peut-être très utile.

Pour la question 2), on peut utiliser le théorème sur les comparaisons de limites :" si pour tout n entier, \(u_{n}\) > \(v_{n}\) et \(\lim_{x \to +\infty}\) \(v_{n}\) = +\(\infty\), alors ..."

Bon courage
SoSMath.

[Invité]

Bonsoir,
J'ai un souci dans la démonstration par récurrence :
on suppose que (1+a)^p \(\geq\) 1+pa est VRAI
On veut montrer que (1+a)^(p+1) \(\geq\) 1+(p+1)a est Vrai AUSSI
soit (1+a)^(p+1) \(\geq\) 1+pa+a
Démonstration: (1+a)^p \(\geq\) 1+pa
(1+a)^p (1+a) \(\geq\) (1+pa)(1+a) l'ordre n'est pas changé car 1+a>0
(1+a)^(p+1) \(\geq\) 1+a+pa+p(a²)

Or on voulait (1+a)^(p+1) \(\geq\) 1+pa+a
je ne sais pas comment aboutir à cette inéqtion

merci de bien vouloir m'aider. Hélène

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Hélène,

tu as presque fini ta démonstration :
Tu sais que pour tout p, p(a²) >= 0, donc 1+a+pa+p(a²) >= 1+a+pa.

Or tu as montré que (1+a)^(p+1) >= 1+a+pa+p(a²),
donc (1+a)^(p+1) >= ....

Bon courage,
SoSMath.