equation différentielle

[luc]

Bonjour voilà j'ai un petit souci.
On considère l'équation différentielle (E) : y'= sin (x) - y
Je dois déterminer deux réels a et b etl que la fonction f soit solution de (E) avec f(x)= a cos(x) + b sin (x)

Je ne sais pas par où commencer.
Merci d'avance pour plus d'explications
Luc

[sos-math(21)]

Bonjour,
Commence par calculer la dérivée de f(x)=acosx+bsinx et remplaces dans l'équation y et y' par les deux expressions de f et f'.
Tu obtiendras une relation entre a et b et il faudra voir ensuite
Fais ce calcul d'abord

[luc]

Je trouve alors f'(x) = -a sin (x) + b cos (x)
donc (E) : - a sin (x) + b cos (x) + a cos (x) + b sin (x) = sin (x)
donc : a (cos (x) - sin (x)) + b (cos (x) + sin (x)) = sin (x)
Voilà et après que faut-il que je fasse?

[sos-math(21)]

Cette égalité est vraie pour tout x, donc
elle est vraie pour x=0, par exemple cela te donne une équation entre a et b.
Recommence avec une valeur "intelligent", genre \(\frac{\pi}{2}\) et tu auras une deuxième équation en a et b.
Au final, tu as un système...

[luc]

Merci au final je trouve a = -1/2 et b = 1/2

[sos-math(21)]

cela me semble correct..

[luc]

Rebonjour,
Notre professeur nous a donné une question de plus que je n'arrive pas à résoudre.
Voilà nous avons donc déterminer a et b avec a=-1/2 et b=1/2
Donc f0(x) = (-1/2)cos x +(1/2) sin x
Par la suite il faut résoudre l'équation différentielle (E0) : y'+y=0
Donc les solutions de l'équations sont g(x)=c exp(-x)
Ensuite il faut démontrer que f est solution de (E) est equivalent à f-f0 est solution de (E0) ce que j'ai réussi.
Ensuite il faut en déduire les solutions de (E) ce qui correspond à f=f0+g
donc les solutions de (E) sont les fonction f(x) = (-1/2)cos x +(1/2) sin x + c exp(-x)
Mon problème intervient ici : il faut que je détermine k solution de (E) vérifiant k(-pi/2) = 0
Je ne sais pas quoi faire.
Cordialement
Luc

[sos-math(21)]

Bonsoir,
tu sais que les solutions d'une équation différentielle sont des familles de fonctions définies à une constante réelle près,
ici les f solutions vérifient \(f(x)=\frac{-1}{2}\cos\,x+\frac{1}{2}\sin\,x+c\e^{-x},\,C\in\mathbb{R}\),
Le fait de donner une valeur d'image \(k(\frac{-\pi}{2})=0\) rend la solution unique :
Reprends l'expression générale de ta fonction, traduis \(f(\frac{-\pi}{2})=0\), cela te donne une équation d'inconnue \(c\) que tu résous.
Tu as donc une fonction déterminée uniquement

[luc]

Je trouve alors -1/2 + c exp (pi/2) = 0
Mais ensuite comment faut-il que je fsse car je ne sais vraiment pas comment vaut exp(pi/2)
Cordialement
luc

[sos-math(21)]

la valeur n'a aucune importance ! c'est un nombre et cela suffit...
Exprime c de cette manière, c'est largement suffisant.

[luc]

de tout façcon exp(pi/2) s'annule non?
Donc c=1/2?
Cordialement
luc

[sos-math(21)]

Pourquoi dis-tu qu'il s'annule ? \(e^{\frac{\pi}{2}}\approx4,81\)...
A voir

[luc]

Ba ça s'annule car cela donne :
-1/2 +c= 0/(exp(pi/2))
Non?

[luc]

Non plutot
1/2 exp (-pi/2) = c

[sos-math(21)]

C'est mieux.