Forme trigonométrique dans les complexes

[Jean]

Bonjour, j'ai un exercice à faire en mathématiques expertes et je suis bloqué sur la question 3. Le voici :

J'ai essayé de développé de chaque côté pour voir si ça fonctionnait mais je n'y arrive pas, je ne sais pas vraiment comment m'y prendre, quelqu'un pourrait m'aider ?
Merci d'avance

[SoS-Math(33)]

Bonjour Jean,
\(1-e^{ix} = e^{i\frac{x}{2}}(e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}})\)
\(= e^{i\frac{x}{2}}(-2isin(\frac{x}{2}))\)
\(=-2ie^{i\frac{x}{2}}sin(\frac{x}{2})\)
Est-ce plus clair?
Tu utilises le même principe pour la deuxième égalité.
SoS-math

[Jean]

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai réussi l'autre.

[SoS-Math(33)]

Bonne continuation
SoS-math

[Jean]

Bonjour,
J'ai fait les questions 4 et 5 mais je ne comprend pas très bien la 6, quand je remplace x par 2kpi rien ne m'apparaît, je ne trouve pas de simplification ou de chose comme ça. Je pense que c'est parce que je me suis trompé à la question 5. Voici ce que j'ai fait :

Quelqu'un pourrait me dire si c'est bon ? Merci d'avance.

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
ce que tu as fait semble tout à fait correct.
Tu pouvais faire plus court en écrivant directement
\(e^{i\frac{nx}{2}} = cos (\frac{nx}{2}) + isin(\frac{nx}{2})\) et ensuite en développant.
Pour la question 6) il te faut reprendre les deux expressions C et S du début en remplaçant \(x\) par \(2k\pi\) et ensuite faire le calcul .
Je te laisse poursuivre
SoS-math

[Jean]

Merci, je trouve donc C=n+1 car cos(x2kpi)=1 et S=0 car sin de (x2kpi)=0 est-ce bon ?
Pour la 7 je dois réutiliser la formule de la question 2 c'est ça ?

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
oui tes calculs sont corrects,
pour la question 7) il faut prendre ce que tu as fait jusqu'à la question 5) avec \(x = \frac{\pi}{n}\)
SoS-math