suite

[Cyprien]

Bonjour,
Voilà ma problématique :
On considère la suite \((u_{n})\) définie par récurrence tel que :\(\left\{\begin{matrix} u_{0}=0,5\\ u_{n+1}=u{_{n}-u_{n}^{2}} \end{matrix}\right.\)
et je dois montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N^{*}}, u_{n}\leq \frac{1}{n}\)
J'ai essayé un raisonnement par récurrence mais cela n'a pas abouti.
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Bonne journée
Cyprien

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
as tu montré que la suite était décroissante?
as tu essayé d'utiliser une fonction?

[Invité]

Bonjour,
Oui j'ai démontré que la suite était décroissante et bornée par 0 et 0,5 donc convergente.

[SoS-Math(33)]

Tu peux utiliser la fonction \(f(x)=x-x²\).
Cette fonction est décroissante facile à montrer
\(U_{n+1}=f(U_n)\)
Je te laisse poursuivre

[Invité]

Oui tout ça je l'ai fait mais je vois pas en quoi ça m'aide à montrer que \(u_{n}\leq \frac{1}{n}\) ?

[SoS-Math(33)]

Tu as : \(U_n \leq \frac{1}{n}\)
En utilisant la fonction et sa décroissance tu peux écrire :
\(f(U_n) \leq f(\frac{1}{n})\)
\(U_{n+1} \leq \frac{1}{n}-(\frac{1}{n})^2\)
Soit : \(U_{n+1} \leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\)

Il te reste à montrer que \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n+1}\)

[Invité]

Merci pour votre aide, je bloquais complètement sur cette question.
Je vous souhaite une bonne soirée.

[SoS-Math(33)]

Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoSmath