exercice avec des vecteurs

[Marie]

bonjour,

j'ai un exercice noté à rendre lundi

BOA est un triangle
1)a) Placer le point D tel que\(\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{OB}\)
b) le point C est tel que \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec0\)
Prouver que C est le milieu de [CD]. Placer C.

j'ai fais la figure avec géogébra mais je n'arrive pas à prouver que C est le milieu de [CD]

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Il faut prouver que O est le milieu de [BC].
Pour cela, il faut démontrer que \(\vec{OD}+\vec{OC}=\vec{0}\)
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

je suis d'accord avec vous mais comment puis je le prouver?

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Il faut remplacer \(\vec{OD}\) par la somme de deux vecteurs et faire de même pour \(\vec{OC}\).
Ensuite, la relation de Chasles fera le reste.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

comment sais je que \(\vec{OD}=\vec{OC}\)

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Non pas comme cela, car sinon vous tournez en rond.
Il faut voir ce que vous savez.
On sait que \(\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{OB}\)
et on sait que \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}\) ce qui permet d'exprimer \(\vec{OC}\) en fonction de deux autres vecteurs.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

\(\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{OB}\)
\(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec0\)

\(\vec{OD}+\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}-\vec{OA}-\vec{OB}\)
\(\vec{OD}+\vec{OC}=\vec0\)

donc \(\vec{OD}+\vec{OC}=\vec0\) donc Oest le milieu de [DC]

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
C'est très bien.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

2) les points E et F sont tels que \(\vec{OE}=\vec{OA}+\vec{OC}\) et \(\vec{OF}=\vec{OB}+\vec{OC}\).
démontrer que ABFE est un parallélogramme.

\(\vec{OE}=\vec{OA}+\vec{OC}\)
\(\vec{OF}=\vec{OB}+\vec{OC}\)
\(\vec{DO}+\vec{OA}+\vec{OB}=\vec0\)
\(\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{OB}\)

malgré ça je n'arrive pas à le prouver

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Le point D ne doit pas intervenir.
Vous voulez démontrer que ABFE est un parallélogramme.
Pour cela, il s'agira de démontrer que \(\vec{EF}=\vec{AB}\).
Vous pourrez partir de \(\vec{EF}\) en écrivant que \(\vec{EF}=\vec{EO}+\vec{OF}\).
A vous de poursuivre en sachant que \(\vec{EO}=-\vec{OE}\).
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

\(\vec{EO}+\vec{OF}=\vec{EF}\)
\(\vec{OE}=\vec{OA}+\vec{OC}\)

\(\vec{EO}+\vec{OF}=\vec{EF}\)
\(\vec{EF}=\vec{AO}+\vec{CO}+\vec{OB}+\vec{OC}\)
\(\vec{EF}=\vec{AB}\)

est ce juste?

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour marie,
C'est très bien.
On peut ainsi conclure que ABFE est un parallélogramme.
A bientôt.

[Marie]

Merci pour votre aide Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Avec plaisir.
A bientôt sur ce forum.