exercice avec des vecteurs

[Marie]

bonjour,

j'ai un exercice noté à rendre lundi

BOA est un triangle
1)a) Placer le point D tel que$\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{OB}$
b) le point C est tel que $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec0$
Prouver que C est le milieu de [CD]. Placer C.

j'ai fais la figure avec géogébra mais je n'arrive pas à prouver que C est le milieu de [CD]

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Il faut prouver que O est le milieu de [BC].
Pour cela, il faut démontrer que $\vec{OD}+\vec{OC}=\vec{0}$
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

je suis d'accord avec vous mais comment puis je le prouver?

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Il faut remplacer $\vec{OD}$ par la somme de deux vecteurs et faire de même pour $\vec{OC}$.
Ensuite, la relation de Chasles fera le reste.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

comment sais je que $\vec{OD}=\vec{OC}$

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Non pas comme cela, car sinon vous tournez en rond.
Il faut voir ce que vous savez.
On sait que $\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{OB}$
et on sait que $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}$ ce qui permet d'exprimer $\vec{OC}$ en fonction de deux autres vecteurs.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

$\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{OB}$
$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec0$

$\vec{OD}+\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}-\vec{OA}-\vec{OB}$
$\vec{OD}+\vec{OC}=\vec0$

donc $\vec{OD}+\vec{OC}=\vec0$ donc Oest le milieu de [DC]

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
C'est très bien.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

2) les points E et F sont tels que $\vec{OE}=\vec{OA}+\vec{OC}$ et $\vec{OF}=\vec{OB}+\vec{OC}$.
démontrer que ABFE est un parallélogramme.

$\vec{OE}=\vec{OA}+\vec{OC}$
$\vec{OF}=\vec{OB}+\vec{OC}$
$\vec{DO}+\vec{OA}+\vec{OB}=\vec0$
$\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{OB}$

malgré ça je n'arrive pas à le prouver

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Le point D ne doit pas intervenir.
Vous voulez démontrer que ABFE est un parallélogramme.
Pour cela, il s'agira de démontrer que $\vec{EF}=\vec{AB}$.
Vous pourrez partir de $\vec{EF}$ en écrivant que $\vec{EF}=\vec{EO}+\vec{OF}$.
A vous de poursuivre en sachant que $\vec{EO}=-\vec{OE}$.
A bientôt.

[Marie]

bonjour,

$\vec{EO}+\vec{OF}=\vec{EF}$
$\vec{OE}=\vec{OA}+\vec{OC}$

$\vec{EO}+\vec{OF}=\vec{EF}$
$\vec{EF}=\vec{AO}+\vec{CO}+\vec{OB}+\vec{OC}$
$\vec{EF}=\vec{AB}$

est ce juste?

Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour marie,
C'est très bien.
On peut ainsi conclure que ABFE est un parallélogramme.
A bientôt.

[Marie]

Merci pour votre aide Marie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Marie,
Avec plaisir.
A bientôt sur ce forum.