Fonction exponentielle

[Marie]

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/Mediane_et_esperance_decroissance_exponentielle.svg

Bonjour,

J'ai quitté le lycée il y a plusieurs années déjà. Je ne me souviens pratiquement pas de mes cours de Terminale S.

Et aujourd'hui j'aurais besoin d'une explication simple mais précise à ma question. Un calcul, en réalité.

J'étudie les fonctions exponentielles décroissante.

Dans l'exemple ci-joint, je n'ai aucune idée du calcul à réaliser pour obtenir N(t) = 1

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ ... tielle.svg

Mis en situation (ça m'aide à schématiser une réalité possible) : Disons que ma population N0=100 représente 100 personnes. Qui sont en train de disparaitre à vitesse exponentielle, avec t en jour. J'aimerais savoir à quel instant t la dernière personne, donc N=1, va disparaitre. Considérant que N<1 ce n'est pas une personne. Je souhaite ensuite convertir mon résultat en jours, heures et minutes.

C'est un peu bizarre, peut-être, comme démarche, mais ça m'aide à comprendre pleinement les calculs. Les relier à quelque chose de tangible.

Merci de prendre de votre temps pour me donner le calcul qui résoud mon équation N(t) = 1.

Je comprends que :
- N(t) = N0.exp(-Lt) (L pour lambda=0,1)
- N(0) = 100
- La demie-vie correspond à l'instant t où la moitié de ma population a déjà disparu.

Je ne comprends pas :
- Durée de vie moyenne (si cela a un intérêt dans la résolution de ma demande, sinon je n'y accorde pas d'importance)

Merci !

Marie

[sos-math(27)]

Bonjour Marie,
Soit à résoudre : \(N(t)=1\)
cela équivaut à :\(100 e^{-0.1 t}=1\) on divise par 100 de chaque côté du signe =
cela équivaut à : \(e^{-0.1 t} = 0.01\) on applique la fonction logarithme de chaque côté du signe =
cela équivaut à : \(ln(e^{-0.1t})=ln(0.01)\) or ln et exponentielle sont réciproques : \(ln(e^X)=X\)
cela équivaut à : \(-0.1t=ln(0.01)\)
et donc \(t=\frac{ln(0.01)}{-0.1}=46.05 h\)

Vous pouvez ensuite faire votre convertion.
La durée de vie moyenne n'a pas d'importance par rapport à la situation (disparition de la dernière personne)
Bonne journée, à bientôt

[Marie]

Merci beaucoup !

Sincèrement, merci.

Marie