Fonction exponentielle

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Marie

Fonction exponentielle

Message par Marie » dim. 6 mai 2018 12:53

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/Mediane_et_esperance_decroissance_exponentielle.svg

Bonjour,

J'ai quitté le lycée il y a plusieurs années déjà. Je ne me souviens pratiquement pas de mes cours de Terminale S.

Et aujourd'hui j'aurais besoin d'une explication simple mais précise à ma question. Un calcul, en réalité.

J'étudie les fonctions exponentielles décroissante.

Dans l'exemple ci-joint, je n'ai aucune idée du calcul à réaliser pour obtenir N(t) = 1

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ ... tielle.svg

Mis en situation (ça m'aide à schématiser une réalité possible) : Disons que ma population N0=100 représente 100 personnes. Qui sont en train de disparaitre à vitesse exponentielle, avec t en jour. J'aimerais savoir à quel instant t la dernière personne, donc N=1, va disparaitre. Considérant que N<1 ce n'est pas une personne. Je souhaite ensuite convertir mon résultat en jours, heures et minutes.

C'est un peu bizarre, peut-être, comme démarche, mais ça m'aide à comprendre pleinement les calculs. Les relier à quelque chose de tangible.

Merci de prendre de votre temps pour me donner le calcul qui résoud mon équation N(t) = 1.

Je comprends que :
- N(t) = N0.exp(-Lt) (L pour lambda=0,1)
- N(0) = 100
- La demie-vie correspond à l'instant t où la moitié de ma population a déjà disparu.

Je ne comprends pas :
- Durée de vie moyenne (si cela a un intérêt dans la résolution de ma demande, sinon je n'y accorde pas d'importance)

Merci !

Marie
sos-math(27)
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Re: Fonction exponentielle

Message par sos-math(27) » mar. 8 mai 2018 09:45

Bonjour Marie,
Soit à résoudre : N(t)=1
cela équivaut à :100e0.1t=1 on divise par 100 de chaque côté du signe =
cela équivaut à : e0.1t=0.01 on applique la fonction logarithme de chaque côté du signe =
cela équivaut à : ln(e0.1t)=ln(0.01) or ln et exponentielle sont réciproques : ln(eX)=X
cela équivaut à : 0.1t=ln(0.01)
et donc t=ln(0.01)0.1=46.05h

Vous pouvez ensuite faire votre convertion.
La durée de vie moyenne n'a pas d'importance par rapport à la situation (disparition de la dernière personne)
Bonne journée, à bientôt
Marie

Re: Fonction exponentielle

Message par Marie » mer. 9 mai 2018 08:40

Merci beaucoup !

Sincèrement, merci.

Marie
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