DM (problème avec les vecteurs)

[Eva]

Bonjour !
J'ai un DM de maths à faire et j'ai du mal avec la dernière question (je vous marquerai les autres réponses en rouge).

Enoncé :

A partir du carré ABCD, on a construit un triangle équilatérale ABE et un triangle équilatéral CBF. Le point H est le pied de la hauteur issue de E dans le triangle ABE.
Le but du problème est de prouver que les points D, E, F sont alignés.

1 - On choisis de travailler dans le repère orthonormé (A, B, D).

1a - Donner les coordonnées des points A, B, C et D dans ce repère.

A (0;0) B (1;0) C (1;1) D (0;1)

1b - Calculer la longueur exacte de EH dans ce repère. En déduire les coordonnées des points E et F.

Mes calculs m'ont donné EH = V 0,75
E (0,5 ; V 0,75)
F (1+V0,75 ; 0,5)
(J'ai noté V les racines carrées)

2 Démontrer que les points D, E et F sont alignés.

pour cela j'ai fait le calcul (vecteur DE ; vecteur DF) = 0 x (-0,5) - [(V 0,75 - 1) x (1 + V 0,75)] = 0 - (- 1/4) = 0 + 1/4 = 1/4
Seulement, je ne sais pas quoi faire ensuite avec le 1/4

Pourriez-vous m'aider SVP ?
Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tu dois avoir comme coordonnées \(\vec{DE}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}-1\end{array}\right)\) et \(\vec{DF}\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{2}+1\\-\frac{1}{2}\end{array}\right)\)
Calcule "les produits en croix" : \(\frac{1}{2}\times\frac{-1}{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)\) et tu dois trouver 0, ce qui prouvera que les vecteurs sont colinéaires et donc qu'il y a alignement.
Bon courage

[Eva]

Merci pour votre réponse mais comment avez-vous trouvé les coordonnées des vecteurs DE et DF ? Parce que j'ai dû me tromper en les calculant et je n'ai pas du tout trouvé ça.

[sos-math(21)]

J'ai écrit \(\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) et j'ai calculé avec la formule : \(\vec{DE}\left(\begin{array}{c}x_E-x_D\\y_E-y_D\end{array}\right)\).
Bonne vérification.

[Eva]

Merci !

[sos-math(21)]

Bonne conclusion.