Fonction

[Antoine]

Bonsoir,

Je me pose une question : comment savoir, ou comment trouver rapidement que :

aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(aX^2+(b-a)X + a) ?

Je sais que le polynôme est factorisable par X+1, mais comment trouver l'autre facteur ?

Merci pour l'aide.

Bonne soirée.

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Antoine,

$(-1)$ est une racine du polynôme. En effet, $(-1)^3a+(-1)^2b+(-1)b+a=-a+b-b+a=0$. Du coup, le polynôme est factorisable par $(X-(-1))$ soit par $(X+1)$.

Pour l'autre facteur, tu sais qu'il sera de degré 2, il est donc de la forme $mX^2+nX+p$.

$aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(mX^2+nX+p)=mX^3+nX^2+pX+mX^2+nX+p$
$aX^3+bX^2+bX+a=mX^3+(n+m)X^2+(p+n)X+p$

On identifie les coefficients des deux formes du polynôme (on connait $a$ et $b$ et on cherche $m$, $n$ et $p$)
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} m &=&a \\ n+m &=& b \\ p+n&= &b \\ p&=&a \end{array}\right. \iff \left\lbrace\begin{array}{rcl} m &=&a \\ n&=& b-a \\ p&=&a \\ n&= &b -a \end{array}\right.$

Finalement on a la factorisation : $aX^3+bX^2+bX+a=(X+1)(aX^2+(b-a)X+a)$

Bonne continuation.

[Antoine]

C'est parfait, merci pour votre explication.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
bonne continuation et à bientôt sur sos-math